Іі. 1 основні визначення для кривих на поверхні еліпсоїда

Криві, розташовані на поверхні еліпсоїда, будуть мати властивості, тісно пов'язані з властивостями цієї поверхні. Нагадаємо деякі геометричні поняття і співвідношення для кривих на поверхні.

Якщо через деяку точку поверхні провести всілякі криві, то дотичні до них утворюють дотичну площину. Пряма, перпендикулярна до дотичної площини і проходить через точку дотику, називається нормаллю до поверхні. Дотична площину і нормаль до поверхні будуть спільними для всіх кривих, розташованих на поверхні і тих що проходять через точку дотику.

Через нормаль до поверхні можна провести безліч площин в різних напрямках. Вони називаються нормальними площинами.

Рис.1.1. Супроводжуючий тригранник

Всі криві на поверхні діляться на два види: плоскі криві (мають тільки кривизну) і криві подвійної кривизни (мають кривизну і кручення). Поведінка просторових кривих характеризується так званим тригранник (рис.1.1), ребрами якого є взаємно ортогональні одиничні вектори - дотичній,головної нормалі і бінормалі . При поступальному русі вздовж кривої S вектори будуть змінювати своє положення в просторі відповідно до формул Серрі-Френе

Де - кривизна кривої; - її кручення. Кривизна проекції кривої на нормальну площину називається нормальною кривизною, а кривизна проекції кривої на дотичну площину називається геодезичною кривизною.

Якщо ввести систему прямокутних координат з початком у вершині

супроводжуючого тригранника (див. рис.1.1), вісь х направити по дотичній, ось у - по головній нормалі , вісь - по бінормалі, то вираз для радіуса-вектора поточної точки можна записати у вигляді:

або в параметричній формі у функції довжини кривої

де похідні визначаються з урахуванням формули Серрі-Френе

Проектуючи векторні вирази (1.3) на осі координат, отримаємо

Використовуючи (1.5), легко отримати вирази для хорди кривої

і кута між дотичною і хордою

При вивченні кривих на поверхні еліпсоїда найбільшу увагу буде приділено нормальному перерізу І геодезичної лінії. Наступ перетину нормальної площини з поверхнею еліпсоїда називається нормальним перетином.

Геодезична лінія з'єднує дві точки поверхні по найкоротшому віддалі.

У кожній її точці геодезична кривизна дорівнює нулю і, отже, головна нормаль збігається з нормаллю до поверхні.