Рівняння поверхні еліпсоїда

Введемо прямокутну систему координат з початком в центрі еліпсоїда (рис.1. 4.)

Рис. 1. 4. Прямокутні координати точок поверхні еліпсоїда

Вісь х лежить на перетині площин початкового меридіана і екватора, вісь z спрямована по малій півосі на північ, вісь у - доповнює систему до правої. З рис.1.4 для точки Q можна записати

Якщо тепер радіус паралелі замінити його виразом за рівністю (1.24) і врахувати (1.25), то отримаємо

Вирази (1.42) являють собою параметричні рівняння поверхні еліпсоїда. Висловимо їх через геодезичні координати. Введемо позначення (геометричний зміст величини буде пояснений нижче), тоді, використовуючи раніше отримані формули (1.12),(1 20), (1.35), (1.36)

найдемо

ІІ.3. ГОЛОВНІ РАДІУСИ КРИВИЗНИ. СЕРЕДНІЙ РАДІУС КРИВИЗНИГоловні радіуси кривизни. Проведемо через деяку точку Q на поверхні еліпсоїда безліч нормальних перетинів. Кожне з них матиме свою кривизну. З усього пучка нормальних перерізів виділимо два з найбільшою і найменшою кривизною. Ці два перетину називаються головними нормальними перетинами, а їх радіуси кривини - головними радіусами кривизни. Рис.1.5. Головні нормальні перетини і паралель Головні нормальні перетини завжди взаємно ортогональні. На еліпсоїді головними нормальними перетинами є -- меридіан (на рис. 1.5 показаний відрізок меридіана РР) і перший вертикал (відрізок ТТ). Зазначимо, що перший вертикал і паралель (відрізок tt) в точці Q мають спільну дотичну, оскільки обидві лінії перпендикулярні до меридіану. Радіус кривизнимеридіана позначається символом М, радіус кривизни першого вертикала - N. Головні радіуси кривизни часто зустрічаються при вирішенні багатьох завдань сфероїдальній геодезії. Знайдемо формули для їх обчислення. Меридіан є еліпс з параметричними рівняннями (див. формули (1.24) і (1.25))

Відомо, що для кривих, рівняння яких задані в параметричній формі, радіус кривизни обчислюється за формулою

Для похідних, що входять в (1.45), згідно (1.44) знайдемо

Підставами (1.46) в (1.45) і врахуємо (1.12), тоді

Оскільки

то отримаємо остаточно

Зауважимо, що на полюсі (В= 90 °) М = с, на екваторі (В = 0 °) М = р, таким чином, лінійні величини с і р, введені в (1.2), є граничними значеннями радіуса кривизни меридіана.

Для радіуса паралелі згідно (1.24) і (1.36) будемо мати

Радіус першого вертикалі знайдемо по теоремі Мєньє, яка стверджує: якщо похилий і нормальний перетин мають спільну дотичну, то радіус кривизни похилого перерізу дорівнює радіусу нормального перетину, помноженому на косинус кута між площинами цих перерізів. Паралель і перший вертикал задовольняють умовам теореми, кут між площинами цих перерізів дорівнює геодезичній широті В (рис.1. 6), тому

Звідси, з урахуванням (1.49), одержимо

Таким чином, величина N, введена при виведенні формул зв'язку прямокутних і геодезичних координат (1.43), є радіус кривизни першого вертикалі.

Рис.1.6. Радіус кривизни першого вертикала

Складемо відношення головних радіусів кривизни відповідно з (1.48) і (1.50)

Очевидно, що N> М у всіх точках поверхні еліпсоїда, крім полюсів.