Статистическая оценка параметров распределения

Состоятельные и несмещенные оценки основных парамет­ров распределения случайной величины Х (илиY) математиче­ского ожидания m_х (или m_Y) и дисперсии (или ) могут быть получены по формулам:

; (3.1)

, (3.2)

где n — число, определяющее размер выборки.

Оценку коэффициента корреляции между величинами Х и Y определяют по формуле:

(3.3)

Коэффициент корреляции показывает степень связи между переменными величинами. Если r=0, то переменные не коррелируют, а при r=±1 между переменными имеется связь.

Значения и рассчитываются по формуле (3.1), а и — по формуле (3.2).

Так как оценки (3.1) — (3.3) определяют по выборке ко­нечного размера, возникает вопрос об их статистической дос­товерности и точности.

Обозначим через оценку интересующего нас параметра. Тогда задача определения достоверности и точности оценки сводится к определению такого интервала (q₁, q₂), включаю­щего параметр q_кр, что с вероятностью 1-p (р – уровень значимости, достаточно малая величина, равная 0,1; 0,05; 0,01) можно утверждать, что неизвестное истинное значение параметра находится в этом интервале. Интервал (q₁, q₂) называют доверительным интер­валом, а вероятность 1-р — доверительной вероятностью.

Рассмотрим случай, когда величина Х (и Y) имеет нор­мальный закон распределения с плотностью вероятности

.

Здесь и далее во всех формулах величины Х можно заме­нить на Y.

Доверительный интервал для математического ожидания ( -e_p, +e_p), включающий m _х с вероятностью 1-р, находят из условия

P[ -e_p<m_x< +e_p]=1-p,

которое можно представить в виде

P[| -m_x|<e_p]=1-p. (3.4)

Введем параметр t=[( -m_x)/ ]× , имеющий t-распределение Стьюдента с f = n-1 степенями свободы. Тогда равенство (3.4) перепишется в виде:

P[ | -m_x|<t(p,f) ]=1-p,

где t(p,f) определяют по таблице распределения Стьюдента (табл. 3.1) при вероятности р и числе степеней свободы f = n-1. Доверительный интервал для m_x, соответствующий довери­тельной вероятности 1-р, есть

[ -t(p,f) , +t(p,f) ]. (3.5)

Чтобы определить доверительный интервал для генераль­ной дисперсии, необходимо найти границы интервала и , удовлетворяющие равенству

P[ 1-p. (3.6)

Для нормально распределенного Х известен закон распре­деления величины

(3.7)

который называют χ²-распределением Пирсона с f = n-1 сте­пенями свободы. После подстановки соотношения (3.7) в (3.6) при условии, что

P[ < ]=P[ > ]=p2,

Получим

[χ² (p/2,f)≤ ≤χ²(1-p/2,f)]=1-p.

Величину χ²(1-p/2,f)=(n-1) / находят по таблице 3.2 χ² распределения при вероятности 1-р/2 и числе степеней сво­боды f = n-1, а χ²(p/2,f)=(n-1) / определяют по таблице 3.2 при вероятности р/2 и числе степеней свободы f = n-1. Следовательно, доверительный интервал для дисперсии , соответствующий доверительной вероятности, есть

. (3.8)

Величина находится аналогично .