Проверка статистических гипотез

Статистической гипотезой называют любое предположение о свойствах генеральной совокупности значений случайной величины. Выдвигаемые гипотезы можно подразделить на исходную или нуль-гипотезу Н₀ и конкурирующие (альтернативные) Н₁ и Н₂. Понятие статистической гипотезы означает предположе­ние о виде распределения случайной величины или о некото­ром параметре ее распределения. Проверка гипотезы заключа­ется в сопоставлении определенного статистического показа­теля (уровня значимости), вычисленного по данной выбор­ке, с уровнем значимости, найденным теоретически при ус­ловии, что проверяемая гипотеза верна.

Этот уровень соответ­ствует вероятности попадания значения статистического пока­зателя в так называемую критическую область, ограниченную критическими значениями определяемых параметров. Если значение параметра, вычис­ленное по данной выборке, попадает в критическую область, гипотеза отвергается. Если значение параметра не попа­дает в критическую область, данная выборка не дает основа­ний для того, чтобы проверяемая гипотеза была отвергнута.

При проверке гипотезы о том, что m_x=C, в качестве крите­рия используют величину

t=| -C| . (3.9)

Для m_y=C в (3.9) все величины Х надо заменить на величи­ны Y:

t= , (3.9a)

Эта величина при условии, что гипотеза верна, имеет t-распределение Стьюдента с f=n-1 степенями свободы, где n — объем выборки при определении (или ), (или ). Если вычисленное по соотношению (3.9; 3.9a) значение t по абсолютной величине не превышает критического значения t_кр = t (p,f), найденного по таблице t-распределения при уровне значимости р и числе степеней свободы f=n-1 (т. е. | t | < t_кр), то гипотеза о том, что m_x=C (или m_y=C), принимается; в против­ном случае она отвергается.

Проверку гипотезы о равенстве двух математических ожи­даний m_x = m_у, вычисленных по двум выборкам случайных ве­личин Х и Y объемами n₁ и n₂, проводят по критерию

t=| - |/ , (3.10)

где

Критерий t имеет t-распределение Стьюдента с числом степеней свободы f=n₁+n₂-2 (табл. 3.1). Значения и определяют по выборкам n₁ и n_2. Проверку гипо­тезы выполняют также, как в предыдущем случае, т. е. при | t | < t_кр гипотеза принимается, а при | t | > t_кр отвергается. Проверку гипотезы о равенстве дисперсий двух случайных ве­личин Х и Y, оценки которых и определены по двум выборкам объема n₁ и n_2, соответственно, проводят с использо­ванием критерия

, (3.11)

который имеет распределение Фишера со степенями сво­боды f₁=n₁-1 для числителя и f₂=n₂-1 для знаменателя. Полу­ченное по критерию (3.11) значение сравнивают с критическим значением F_кр= F(р, f₁, f₂), определяемым по таблице F-распределения (табл. 3.3) при уровне значимости р и степенях свободы f₁ для числителя и f₂ для знаменателя. Если F<F_кр, нет оснований для того, чтобы нулевая гипотеза была отвергнута; в противном случае принимаем, что на генеральной совокуп­ности .

При проверке гипотезы об отсутствии корреляции между двумя случайными величинами Х и Y используют отношение:

(3.12)

где — оценка коэффициента корреляции, найденная по выборке объемом n; =(1- )/(n-2).

Величина t имеет t-распределение Стьюдента с f=n-2 сте­пенями свободы. Полученное по соотношению (3.12) значение t сравнивают с критическим t_кр= t(p,f), которое находят по таб­лице t-распределения (табл. 3.1) при уровне значимости р и степени свободы f. Если | t | < t_кр, нет оснований для того, что­бы гипотеза об отсутствии корреляции на генеральной сово­купности была отвергнута. В случае принимаем, что между величинами Х и Y существует корреляция.

КОМПЬЮТЕРНЫЙ ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

Цель работы: изучение методов оценки параметров рас­пределения (математического ожидания, дисперсии, коэффи­циентов корреляции) и овладение методикой использования статистических критериев при проверке статистических гипо­тез.

Задание: Ознакомиться с методикой проведения экспери­мента по получению двух выборок случайных величин на ус­ловном химико-технологическом объекте. Выбрать свой вари­ант двух выборок из базы данных ПК (VarLD213. Документ MS WORD), провести статистическую оценку параметров распределения и проверить правильность гипотез. Затем уточ­нить результаты расчетов с помощью ПК по программам HYPOT. BAS или Проверка гипотез. Mcd — «Статистическая оценка параметров и проверка гипотез».