Глава2. Системы сходящихся и параллельных сил

2.1. Сложение и
равновесие системы сходящихся сил

Если силы таковы, что линии действия их пересекаются в одной точке, то такая система сил называется сходящейся.

Очевидно, пользуясь аксиомой 3 такую систему сил можно заменить одной, их равнодействующей:

Величина и направление равнодействующей определяются замыкающей стороной силового (векторного) многоугольника (рис. 1.15). Для построения такого многоугольника каждая последующая сила откладывается из конца предыдущей силы. Линия действия равнодействующей проходит через точку пересечения сил.

Таким образом, для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник был бы замкнутым (рис. 1.16).

Следовательно в аналитическом виде можно записать для системы сходящихся сил:

Значит:

(1.6)

Уравнения (1.6) определяют аналитические условия равновесия системы сходящихся сил.

Теорема: е сли тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, то эти силы пересекаются в одной точке.

Из предыдущего следует, что эти три силы составляют замкнутый треугольник. Складывая любые две из них по аксиоме 3 замечаем, что тело будет находится в равновесии под действием двух сил. Но из аксиомы 1 вытекает, что эти две силы направлены по одной прямой, т.е. линии действия всех сил пересекаются в одной точке.

На основе этой теоремы можно непосредственно определять направление неизвестных реакций связей. Так, например, для невесомой балки AB (рис. 1.7) реакция неподвижного цилиндрического шарнира A пройдет через точку пересечения силы и натяжения нити . При известной силе величина реакции найдется построением силового треугольника.

Пример 1.1. Определить натяжения троса ABC, на котором подвешен уличный фонарь весом 150 Н. (рис. 1.18). Длина всего троса равна 20 м, отклонение от горизонта BD=0,1 м. Весом троса пренебречь.

Решение. На основе условий равновесия системы схождения сил (1.6) можно записать:

,	(а)
	(б)

Из уравнения (а) находим . Тогда из (б) найдем . По условию задачи , откуда . Следовательно , т.е. натяжение троса в 50 раз превышает вес фонаря. Увеличение веса фонаря, например за счет намерзания на нем льда, может привести к обрыву троса.

2.2. Сложение системы параллельных сил

Теорема 1. Равнодействующая двух параллельных сил направленных в одну сторону им параллельна, при этом модуль равнодействующей равен сумме модулей слагаемых сил, а линия действия ее делит расстояние между силами на части, обратно пропорциональные силам.

Две параллельные силы и можно преобразовать в две сходящиеся силы и (рис. 1.19), которая на основе аксиомы 3 может быть заменена из равнодействующей . Для этого приложим в точках A и B две уравновешенные силы . Тогда с учетом аксиомы 2 получим:

Найдем модуль равнодействующей:

т.е.

(1.7)

Рассматривая подобие треугольников АСО и треугольника ВСО с соответствующими силовыми треугольниками можно найти следующее отношение:

(1.8)

Очевидно, полученные выводы позволяют сложить любое число параллельных сил, направленных в одну сторону. Таким образом, система указанных параллельных сил всегда может быть заменена одной силой – их равнодействующей.

Теорема 2. Равнодействующая двух параллельных сил, направленных в противоположные стороны, им параллельна, направлена в сторону большей силы и делит расстояние между силами внешним образом на части обратно, пропорциональные силам.

Пусть для определенности (рис. 1.20). Пользуясь предыдущим результатом разложим силу на две ей параллельные силы: , приложенную в точке B и равную по модулю силе , и силу , величина и точка приложения которой найдется из выражения:

.

(1.9)

Так как силы и уравновешены, то на основе аксиомы 2 их можно отбросить. Следовательно, оставшаяся сила будет являться равнодействующей антипаралллельных сил и .

Теорема 3. Если тело находится в равновесии под действием трех сил, две из которых параллельны и не равны, то третья сила им параллельна.

В самом деле, складывая эти две силы устанавливаем, что, во-первых, их равнодействующая им параллельна и во-вторых, что тело находится в равновесии под действием двух сил, которые по аксиоме 1 должны быть параллельны по одной прямой. Следовательно, третья сила параллельна заданным.

Так, например, для невесомой балки BA (рис. 1.21) при реакция неподвижного цилиндрического шарнира . Если AC=CB, то как это следует из (1.9), .