Связь между вектором-моментом силы относительно центра и моментом силы относительно оси

Эта связь отражена в следующем утверждении.

Проекция на ось вектора-момента силы относительно центра на оси равна моменту силы относительно оси.

Математическая запись утверждения, например, для оси Z, имеет вид

(5)

где m_OZ(F) - проекция вектора m_O(F) на ось Z.

Докажем справедливость этого утверждения. На рис. 20 радиус-вектор r определяет положение точки приложения A силы F относительно центра O, через который проходит ось Z. По определению m_O(F) перпендикулярен плоскости треугольника OAB и, следовательно, его высоте h, которая является и плечом силы. Величина вектора m_O(F) = Fh = 2S_ΔOAB, а его проекция на ось Z равна

(6)

где α - угол между осью Z и вектором-моментом (рис. 20), а S_ΔOAB - площадь треугольника OAB. Величина момента силы относительно оси равна m_Z(F) = F_Пh' = 2S_ΔOA'B'. По рисунку видим, что _ΔOA'B' является проекцией _ΔOAB на плоскость П. Из геометрии известно, что S_ΔOA'B' = S_ΔOAB cosβ, где β - угол между плоскостями треугольников, равный углу между их высотами h и h'. Учитывая последнее равенство, получим

(7)

Но m_O(F) перпендикулярен h, а OZ перпендикулярна h'. Поэтому углы между осью и вектором-моментом и между высотами треугольников равны. При α = β равны правые части равенств (6) и (7), следовательно, равны и левые части, то есть m_OZ(F) = m_Z(F), и утверждение доказано.

Достроим к оси OZ две оси системы координат с началом в центре O. Проведя аналогичные доказательства для осей OX и OY, установим связь между проекциями вектора-момента силы относительно центра и моментами силы относительно осей системы координат с началом в центре:

(8)

На практике вычисление момента силы относительно оси значительно проще нахождения проекции вектора-момента, когда по правилу векторного произведения нужно получить вектор-момент, а затем проектировать его на ось. Поэтому и введено понятие момента силы относительно оси и доказана связь между вектором-моментом и моментом относительно оси, которую мы рассмотрели в этом пункте.

Таким образом, силу, как скользящий вектор, удобнее всего определить шестью параметрами (F_X, F_Y, F_Z, m_X(F), m_Y(F), m_Z(F)). Ранее мы показали, что среди них только пять независимых между собой параметров. Первые три из них - проекции силы на оси координат - определяют величину и направление силы, а моменты силы относительно осей координат определяют линию действия силы.

Понятие момента, впервые введенное в статике для силы, оказалось эффективным и для векторов иной физической природы, и для любых связанных и скользящих векторов. Поэтому понятие момента широко используется в механике и в физике и для других векторов, например, момент количества движения, а в математике понятие момента вектора является основой теории связанных и скользящих векторов.