Задача 1

Груз весом G = 2 кН (рис. 1) удерживается краном, состоящим из двух невесомых стержней в шарнирах АВ и АС, прикрепленных к вертикальной стене и составляющих с ней углы α₁ = 60º и α₂ = 40°. В точке А подвешен блок, через который перекинут грузовой трос, идущий к блоку в точке D и составляющий со стеной угол α₃ = 60°.

Весом троса и блока, а также размерами блока можно пренебречь. Определить усилия в стержнях.

Решение. Рассмотрим находящийся в равновесии груз (рис. 2).

На него действуют две силы: сила тяжести Ğ и сила натяжения троса Ň₁. Поскольку система сил уравновешена, можно сделать очевидный вывод: сила натяжения троса направлена по оси троса, является растягивающей и по модулю равна весу груза N₁ = G.

Если для любого блока (рис. 3) пренебречь трением на его оси, то силы натяжения ветвей его троса одинаковы N₁ = N₂ (что легко видеть из уравнения моментов относительно центра блока).

Теперь в качестве объекта равновесия можно рассмотреть мысленно вырезанный узел в точке А или, что то же самое, блок с прилежащей к нему частью троса. На этот узел будут действовать силы натяжения ветвей троса N₁ и N₂ и реакции R₁ и R₂ стержней АВ и АС (рис. 4).

Реакции опорных стержней направим по оси этих стержней, считая их изначально растянутыми.

Составим теперь уравнения равновесия в виде проекций сил на оси х и у, учитывая, что силы R₁, R₂ и N₂ составляют углы α₁, α₂ и α₃ с осью у.

Отсюда, учитывая, что N₁ = N₂ = 2 кН, получаем

Решая эту систему уравнений, находим R₁ = 0,611 кН, R₂ = —3,52 кН. Знак «минус» у величины реакции R₂ означает, что она имеет направление, противоположное принятому, то есть стержень АС не растянут, а сжат.
Ответ: R₁ = 0,611 кН; R₂ = -3,52 кН.