Момент силы относительно точки и оси

Момент силы относительно точки О - это вектор, модуль которого равен произведению модуля силы на плечо - кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы. Направление вектора момента силы перпендикулярно плоскости, проходящей через точку и линию действия силы, так, что глядя по направлению вектора момента, вращение, совершаемое силой вокруг точки О, происходит по часовой стрелке.

Если известен радиус-вектор r⃗ точки приложения силы F⃗ относительно точки О, то момент этой силы относительно О выражается следующим образом:

M⃗ O(F⃗)=r⃗ ×F⃗.

Действительно, модуль этого векторного произведения:

|M⃗ O|=|r⃗ ×F⃗ |=|r⃗ ||F⃗ |sinα.

В соответствии с рисунком |r⃗ |sinα=h, поэтому:

|M⃗ O|=|F⃗ |h.

Вектор M⃗ O, как и результат векторного произведения, перпендикулярен векторам r⃗ и F⃗, которые принадлежат плоскости Π. Направление вектора M⃗ O таково, что глядя по направлению этого вектора, кратчайшее вращение от r⃗ к F⃗ происходит по часовой стрелке. Другими словами, вектор M⃗ O достраивает систему векторов (r⃗,F⃗) до правой тройки.

Зная координаты точки приложения силы в системе координат, начало которой совпадает с точкой О, и проекцию силы на эти оси координат, момент силы может быть определен следующим образом:

M⃗ O=r⃗ ×F⃗ =⎛⎝⎜i⃗ xFxj⃗ yFyk⃗ zFz⎞⎠⎟=(yFz−zFy)i⃗ +(zFx−xFz)j⃗ +(xFy−yFx)k⃗.

Момент силы относительно оси

Проекция момента силы относительно точки на некоторую ось, проходящую через эту точку называется моментов силы относительно оси.

Момент силы относительно оси вычисляется как момент проекции силы F⃗ на плоскость Π, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью Π:

Mz(F⃗)=Mz(F⃗ Π)=±FΠh.

Знак момента определяется направлением вращения, которое стремится придать телу сила F⃗ Π. Если, глядя по направлению оси Oz сила вращает тело по часовой стрелке, то момент берется со знаком ``плюс'', иначе - ``минус''