Аксиомы статики

Аксиомы статики – это законы, установленные непосредственными наблюдениями и опытной проверкой следствий, логически вытекающих из аксиом.

Аксиома 1. Система двух сил, действующих на свободное твердое тело, является уравновешенной тогда и только тогда, когда эти силы равны по модулю и действуют вдоль одной прямой в противоположные стороны.

На рис. 1.2 показаны две уравновешенные системы сил:

~ 0; ~ 0.

Аксиома 1 дает необходимые и достаточные условия уравновешенности системы двух сил, две следующие аксиомы устанавливают простейшие операции, приводящие к эквивалентным системам сил.

Аксиома 2. Если к данной системе сил добавить или отнять от нее уравновешенную систему сил, то полученная система сил будет эквивалентна исходной.

Из этой аксиомы вытекает следствие: «Действие силы на твердое тело не изменится, если перенести точку приложения силы вдоль линии ее действия».

Для доказательства следствия рассмотрим силу , приложенную в точке A (рис. 1.3,а). В точке B на линии действия силы приложим уравновешенную систему сил , где . Тогда в соответствии с аксиомой 2 получим ~ (рис. 1.3,б). Согласно аксиоме 1 система сил ~ 0, а согласно аксиоме 2 их можно отбросить (рис. 1.3,в), т.е. ~ ~ , что и доказывает следствие.

Таким образом, сила, приложенная к абсолютно твердому телу, является скользящим вектором.

Аксиома 3 (аксиома параллелограмма сил). Система двух сил, приложенных к телу в одной точке, имеет равнодействующую, приложенную в той же точке и равную геометрической сумме сил.

Эта аксиома не только устанавливает существование равнодействующей рассматриваемой системы сил ~ (рис. 1.4), но и дает правило ее определения: . Модуль равнодействующей

.

Аксиома 4 (3-й закон Ньютона). Силы взаимодействия двух тел равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны.

Силы взаимодействия двух тел удовлетворяют всем условиям аксиомы 1, кроме одного – они приложены к разным телам (рис. 1.5), и поэтому не образуют уравновешенную систему сил.

Аксиома 5 (принцип отвердевания). Равновесие изменяемого (деформируемого) тела не нарушится, если тело станет абсолютно твердым.

Другими словами, при равновесии деформируемого тела силы, действующие на него, удовлетворяют тем же условиям, что и для абсолютно твердого тела, но эти условия для деформируемого тела будут только необходимыми, не являясь достаточными.

Рассмотрим в качестве примера деформируемого тела нить, которая находится в равновесии под действием двух сил и , приложенных к ее концам, как показано на рис. 1.6,а. В соответствии с аксиомой 1 эти силы должны действовать вдоль одной прямой (вдоль нити) в противоположные стороны и иметь одинаковые модули. Для того, чтобы эти условия стали достаточными, к ним следует добавить еще одно: силы, действующие на нить, должны быть растягивающими. При тех же условиях абсолютно твердое тело – стержень (рис. 1.6,б) будет находиться в равновесии под действием как растягивающих, так и сжимающих сил.

1.3. Связи и их реакции

Твердое тело, на перемещения которого наложены ограничения, называют несвободным. Тела, ограничивающие перемещения данного тела, называют связями. Силы, с которыми связи действуют на данное тело, называют реакциями связей. Силы, не зависящие от связей, называют активными (например, силы тяжести).

Реакции связей определяются действующими активными силами. Направление реакции связи всегда противоположно тому направлению, в котором связь не позволяет перемещаться определенной точке тела. Несмотря на то, что большинство окружающих нас тел являются несвободными, их можно считать свободными, если воспользоваться принципом освобождаемости от связей: «Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить связи и заменить их действие на тело силами – реакциями связей».

Рассмотрим наиболее типичные идеализированные связи и укажем возможные направления их реакций.

Гладкая поверхность. Поверхность называется гладкой, если можно пренебречь силой трения, возникающей в точке контакта этой поверхности и данного тела. Эта точка не может перемещаться вдоль общей нормали к соприкасающимся поверхностям, потому в указанном направлении действует реакция гладкой поверхности (рис. 1.7,а). Если нормаль к одной из соприкасающихся поверхностей в точке контакта не определена, то реакция направлена по нормали к другой поверхности (рис. 1.7,б).

Идеальная нить. Это невесомая, нерастяжимая, идеально гибкая нить, не оказывающая сопротивления при изгибе. Точка соединения тела и нити не может перемещаться вдоль нее, поэтому реакция натянутой нити направлена вдоль нити к точке подвеса, как показано на рис. 1.8.

Неподвижный цилиндрический шарнир. Шарнир позволяет телу вращаться вокруг неподвижной оси и скользить вдоль нее (рис. 1.9, ось шарнира перпендикулярна плоскости рисунка). Реакция шарнира лежит в плоскости, перпендикулярной его оси, ее направление заранее указать нельзя. Поэтому реакцию обычно представляют двумя составляющими: и .

Подвижный цилиндрический шарнир. Шарнир препятствует перемещению закрепленной точки вдоль нормали к опорной поверхности, что и объясняет направление реакции шарнира (рис. 1.10).

Сферический шарнир и подпятник. Реакции шарнира и подпятника могут иметь произвольные направления в пространстве, и поэтому представлены тремя составляющими: , , (рис. 1.11).

Идеальный стержень. Это тонкий, невесомый, недеформируемый стержень, имеющий на концах шарниры. Реакция стержня направлена вдоль прямой, соединяющей его концы, так как именно в этом направлении он не позволяет перемещаться закрепленной точке (рис. 1.12).