Операционное исчисление

Операционное (символическое) исчисление применяется в самых различных областях науки и техники. Особенно большую роль оно играет при исследовании переходных процессов в линейных физических системах электротехники, автоматики, механики.

Правила операционного исчисления созданы английским инженером-электриком Хевисайдом (1850-1925 г.). Они позволяют достаточно несложными и эффективными приемами находить решения дифференциальных уравнений.

Основными первоначальными понятиями операционного исчисления являются понятия функции – оригинала и функции-изображения.

Пусть f(t) – действительная функция действительного переменного t (под t понимается время или координата).

Определение. Функция f(t) называется оригиналом, если она удовлетворяет следующим условиям:

1) f (t) = 0 при t < 0;

2) f (t) – кусочно-непрерывная при t 0;

3) существуют такие числа M > 0 и S₀ 0, что для всех t выполняется неравенство , т. е. при возрастании t функция f(t) может возрастать не быстрее некоторой показательной функции.

Число S₀ называется показателем роста f(t).

Условия (1-3) выполняются для большинства функций, описывающих различные физические процессы. Первое условие означает, что процесс начинается с некоторого времени; удобнее считать, что в момент t=0. Третьему условию удовлетворяют ограниченные функции (для них S₀=0), степенные (n > 0) и другие. Для функций вида , условие 3 не выполняется; не является оригиналом и функция f(t)= - для неене выполняется 2-е условие.

Определение. Изображением оригинала f(t) называется функция F(p) комплексного переменного р= , определяемая интегралом

Операцию перехода от оригинала f(t) к изображению F(p) называют преобразованием Лапласа. Соответствие между оригиналом f(t) и изображением F(p) записывается в виде f(t) ÷ F(p).

Принято оригиналы обозначать малыми буквами, а их изображения – соответствующими большими.

Õ Пример1. Простейшим оригиналом является единичная функция (функция Хевисайда), определяемая следующим образом .

Найдем изображение этой функции.

, в символической записи .n

Замечание: В дальнейшем функцию – оригинал будем коротко записывать в виде f(t), учитывая, что при .

Õ Пример2. Найти изображение функции , а – любое число.

Получили .n

Находить изображения, пользуясь только определением изображения, не всегда просто и удобно. Свойства преобразования Лапласа облегчают задачу нахождения изображений, а также задачу отыскания оригиналов по их изображениям. Пусть f(t) ÷ F(p).