Задачи для контрольных заданий

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Часть 4

Методические указания

по самостоятельной работе и выполнению контрольных работ

для студентов дневной и заочной форм обучения

направлений 6.070104 «Морской и речной транспорт»

6.051701 «Пищевые технологии и инженерия»

6.050503 «Машиностроение»

6.050702 «Электромеханика»

Керчь, 2012

УДК 51

Авторы: Драчева И.А., ст. преподаватель кафедры высшей математики и физики КГМТУ,
Ивановская А.В., ст. преподаватель кафедры высшей математики и физики КГМТУ

Рецензент: Ершова Т.Г., ст. преподаватель кафедры высшей математики и физики КГМТУ

Методические указания рассмотрены и одобрены на заседании кафедры высшей математики и физики КГМТУ,

протокол № 3 от 5 октября 2012 г.

Методические указания утверждены и рекомендованы к изданию методической комиссией технологического факультета КГМТУ

протокол № от2012 г.

© Керченский государственный морской технологический университет, 2012

Содержание

ВВЕДЕНИЕ.. 4

1. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ.. 5

2. ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ.. 5

3. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ И РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ.. 13

3.1 Операционное исчисление. 13

3.2 Решение типовых задач 391-400, 401-410. 20

3.3. Основы теории вероятностей. 24

3.4. Задачи типа 411-420. 26

3.5. Задачи типа 421-430. 39

3.6. Элементы математической статистики. 43

3. 7. Задачи типа 431-440. 46

3.8. Элементы корреляционного и регрессионного анализа. 48

3.9. Задачи типа 441-450. 51

4. ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ.. 54

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ... 55

Приложение А.. 57

ПРИЛОЖЕНИЕ В ………………………………………………………………………………….57

ПРИЛОЖЕНИЕ С ………………………………………………………………………………….59

ВВЕДЕНИЕ

Знания, которые студент должен приобрести в результате изучения высшей математики, необходимы для успешного изучения общетехнических и специальных дисциплин (физика, теоретическая механика, электротехника, ТАУ, статистика в судовождении, электронавигационные приборы и др.).

Данные методические указания содержат следующие разделы высшей математики: элементы операционного исчисления; теория вероятностей и математическая статистика.

Методические указания содержат вопросы для подготовки к экзаменам по высшей математике, контрольные задания, краткие сведения из теории и решение типовых задач.

Студенты дневного отделения могут использовать данные методические указания при выполнении домашнего задания, при подготовке к модульным контрольным работам и семестровому экзамену. Задачи для контрольных заданий студентам дневного отделения рекомендуется прорешивать самостоятельно, как типовые задачи модульных контрольных работ.

Студент заочного отделения при выполнении контрольных работ должен знать следующие рекомендации:

- каждую работу необходимо выполнять в отдельной тетради, на обложке которой должны быть указаны номер контрольной работы, фамилия и инициалы студента, полный шифр, дата регистрации работы в университете;

- при решении задач необходимо указать номер задачи, ее содержание;

- решение задачи должно сопровождаться достаточно подробными пояснениями;

- все вычисления должны быть приведены полностью, чертежи и графики выполнены аккуратно карандашом с помощью линейки;

- для удобства рецензирования преподавателем контрольной работы следует на каждой странице оставлять поля.

После получения отрецензированной работы студент должен исправить в ней все ошибки. Если работа не допущена к защите, то в кратчайший срок студенту необходимо после устранения замечаний преподавателя представить работу на повторное рецензирование. Работу над ошибками следует делать в той же тетради.

Перед экзаменом или зачетом студент должен защитить контрольную работу. Защита предполагает проверку того, что работа выполнена студентом самостоятельно. Поэтому при защите студент должен быть готов дать пояснения к решенным задачам или решить подобные задачи. На экзамен (или зачет) необходимо представить преподавателю все запланированные контрольные работы.

Студент выполняет тот вариант контрольной работы, который совпадает с последней цифрой его учебного шифра.

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Таблица 1

Вариант	Номера задач контрольной работы
	391, 401, 411, 421, 431
	392, 402, 412, 422, 432
	393, 403, 413, 423, 433
	394, 404, 414, 424, 434
	395, 405, 415, 425, 435
	396, 406, 416, 426, 436
	397, 407, 417, 427, 437
	398, 408, 418, 428, 438
	399, 409, 419, 429, 439
	400, 410, 420, 430, 440

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

391-400. Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

391.
392.
393.
394.
395.
396.
397.
398.
399.
400.

401-410. Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее начальным условиям.

401.
402.
403.
404.
405.
406.
407.
408.
409.
410.

411-420. Решить задачу.

411. Среди семян ржи имеется 0,4% семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 5000 семян обнаружить 5 семян сорняков?

412. В первом ящике 1 белый, 3 красных и 1 синий шар, во втором 3 белых, 2 красных и 5 синих шаров. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность того, что среди вынутых шаров нет синих?

413. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,9. Найти вероятность того, что при 200 выстрелах мишень будет поражена ровно 175 раз.

414. В чемпионате университета по футболу участвуют 6 команд, 4 из которых представляют морской факультет. Для жеребьевки декан пригласил трех капитанов команд, какова вероятность того, что двое из них с морского факультета?

415. Вероятность попадания стрелком в цель равна 0,85. Сделано 7 выстрелов. Определить вероятность наивероятнейшего числа промахов.

416. В механизм входят три детали. Работа механизма нарушается, если хотя бы одна деталь выйдет из строя. Вероятность выйти из строя для первой детали – 0,1, для второй – 0,15, для третьей – 0,05. Найти вероятность того, что работа механизма будет нарушена.

417. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 900 абонентов. Какова вероятность того, что в течение часа позвонят пять абонентов?

418. Среди 16 студентов группы, из которых семь девушки, разыгрывается 6 билетов, причем каждый может выиграть только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся четыре девушки?

419. Вероятность появления успеха в каждом испытании равна 0,4. Найти вероятность того, что при 550 испытаниях успех наступит не менее 210 и не более 240 раз.

420. Монету подбрасывают 6 раз. Какова вероятность того, что она упадет гербом вверх не менее пяти раз?

421-430. Пусть заданы дискретная (а) и непрерывная (б) случайные величины . Необходимо найти их числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Для непрерывной случайной величины также найти плотность вероятности.

421.	а)           0,2 0,3 0,2 0,1 0,2	б)
422.	а)           0,1 0,3 0,2 0,1 0,3	б)
423.	а)           0,2 0,3 0,1 0,2 0,2	б)
424.	а)           0,3 0,1 0,2 0,1 0,3	б)
425.	а)           0,1 0,4 0,1 0,3 0,1	б)
426.	а)           0,1 0,3 0,1 0,4 0,1	б)
427.	а)           0,2 0,3 0,1 0,3 0,1	б)
428.	а)           0,1 0,4 0,1 0,3 0,1	б)
429.	а)           0,1 0,2 0,1 0,5 0,1	б)
430.	а)           0,1 0,5 0,1 0,2 0,1	б)

421-430. При изучении случайной величины Х в результате n независимых наблюдений получили выборку.

Необходимо:

1. Построить дискретное статистическое распределение для этой выборки, а также полигон относительных частот.

2. Найти: 1) выборочную среднюю и среднее квадратическое отклонение ;

2) моду , медиану и размах варьирования ;

421.	6, 10, 12, 2, 14, 12, 14, 12, 16, 4, 12, 14, 12, 16, 12, 10, 4, 6, 14, 6, 8, 12, 16, 8, 12, 8, 10, 16, 8, 10, 14, 10, 12, 12, 14, 16,12, 14, 12, 16, 4, 12, 14, 4, 6, 14, 6, 8, 12, 16.
422.	25, 15, -5, 15, -10, 15, -15, -5, 10, 15, -10, -5, 15, -5, 5, 15, -10, 5, -5, -5, -5, 10, 5, 10, 5, 10, -5, 10, 15, 10, 15, 20, 25, -5, -10, -15, 25, 15, -5, 15, -10, 15, -15, -5, 10, 15, 10, 15, 20, 25.
423.	4, 32, 4, 20, 12, 4, 16, 20, 12, 20, 12, 28, 12, 20, 20, 20, 4, 24, 8, 20, 24, 16, 8, 8, 8, 20, 8, 8, 16, 8, 12, 8, 8, 16, 16, 8, 8, 12, 8, 12, 16, 20, 20, 24, 28, 28, 16, 28, 16, 28.
424.	40, 5, 5, 25, 5, 15, 5, 30, 5, 15,5, 20, 5, 5, 20, 5, 25, 5, 10, 10, 25, 30, 25, 10, 35, 10, 25, 10, 30, 25, 25, 30, 10, 40, 10, 10, 15, 15, 40, 15, 15, 20, 20, 25, 25, 25, 30, 30, 35, 35.
425.	30, 6, 24, 24, 24, 36, 18, 30, 30, 6, 48, 6, 36, 6, 30, 36, 6, 18, 24, 6, 42, 6, 6, 42, 6, 12, 12, 24, 30, 12, 42, 12, 48, 12, 12, 12, 18, 18, 18, 24,18, 24, 30, 36, 36, 12, 12, 36, 36, 12.
426.	56, 7, 7, 14,, 14, 21, 21, 7, 7, 21, 28, 35, 28, 21, 21, 28, 28, 35, 35, 35, 42, 35, 42, 42, 42, 49, 7, 7, 7, 49, 7, 7, 49, 56, 56, 21, 21, 56,14, 7, 14, 14, 56, 14.
427.	8, 40, 48, 8, 8, 16, 16, 8, 16, 32, 16, 16, 32, 16, 32, 16, 32, 16, 24, 16, 24, 24, 32, 64, 32, 8, 32, 8, 8, 32, 32, 40, 40, 8, 8, 40, 8, 16, 48, 56, 56, 16, 16, 56, 64, 64, 32, 32,64, 24, 32, 64.
428.	17, 24, 24, 3, 3, 10, 10, 17, 17, 3, 3, 17, 52, 17, 24, 24, 31, 31, 31, 3, 10, 10, 31, 31, 38, 38, 38, 3, 3, 3, 38, 17, 17, 38, 38, 3, 38, 38, 45, 45, 10, 10, 45, 45, 45, 24, 24, 31, 31, 45.
429.	28, 28, 4, 4, 28, 34, 34, 4, 4, 22, 22, 4, 10, 10, 28, 28, 10, 10, 22, 28, 10, 34, 40, 10, 10, 28, 46, 28, 10, 16, 16, 46, 16, 16, 28, 28, 16, 16, 22, 16, 16, 22, 28, 28, 34, 40, 16, 16, 40, 40.
430.	65, 65, 75, 75, 5, 15, 65, 25, 5, 75, 5, 15, 75, 25, 25, 25, 35, 65, 65, 65, 35, 55, 65, 35, 45, 45, 45, 45, 55, 55, 55, 55, 65, 65, 65, 45, 45, 65, 65, 75, 75, 25, 35, 75, 45, 55, 75, 45, 75, 25.

431-440. В результате статистических наблюдений были получены характеристики для независимой переменной и соответствующие значения зависимой переменной .

Необходимо:

1. Построить корреляционное поле наблюдений признака от .

2. Найти точечные статистические оценки , для параметров , парной линейной функции регрессии .

3. Вычислить выборочный коэффициент корреляции .

4. Построить график линии регрессии.

431. Конденсатор был заряжен до полного напряжения в некоторый момент времени t, после этого он начинает разряжаться. Зависимость напряжения Y от времени разряжения Х приведена в таблице

Y = yi
X = xi

432. Результаты измерения чувствительности Y видеоканала и звукового канала Х приведены в таблице

Y = yi
X = xi

433. Зависимость величины износа резца Y от длительности работы Х показана в таблице

Y = yi, мм	30,0	29,1	28,4	28,1	28,0	27,7	27,5	27,2	27,0	26,8
X = xi, часов

434. Зависимость твердости Y стальных болтов от содержания в них никеля Х приведена в таблице

Y = yi, %	35,4	35,0	35,8	36,2	36,7	36,9	37,3	37,8	38,2	39,1
X = x, %	2,20	2,35	2,42	2,58	2,65	2,69	2,74	2,88	2,91	2,95

435. Результаты сравнения нового метода газового анализа со старым Х приведены в таблице

Y = yi, усл. ед.	2,88	2,91	2,92	2,96	3,01	3,11	3,21	3,25	3,32	3,36
X = xi, усл. ед.	2,07	2,12	2,11	2,58	2,89	2,92	3,01	3,12	3,21	3,29

436. Зависимость содержания кремния Y в чугуне от температуры шлака Х приведена в таблице

Y = yi, %	0,27	0,40	0,36	0,42	0,45	0,51	0,55	0,58	0,61	0,64
X = xi, °С

437. Зависимость предельной нагрузки на болт Y от его твердости Х приведена в таблице

Y = yi, усл. ед.	10,10	10,30	10,45	10,90	11,20	11,35	11,90	12,45	12,58	12,96
X = xi, усл. ед.	50,0	50,2	52,8	53,5	54,0	56,8	58,8	59,5	60,5	64,8

438. Влияние температуры Y в °С окружающей среды на суточный ход хронометра Х приведено в таблице

Y = yi, °С	2,60	2,30	2,11	2,01	1,92	1,82	1,55	1,34	1,30	1,28
X = xi	5,0	5,5	6,0	6,5	7,0	7,5	8,0	8,5	9,0	9,5

439. Зависимость содержания свинца Y в руде от содержания Х серебра приведена в таблице

Y = yi, %	2,0	2,5	3,0	3,5	4,0	4,5	5,0	5,5	6,0	6,5
X = xi, %	2,0	7,5	12,5	14,5	16,0	18,5	20,0	20,5	22,0	24,5

440. Зависимость массы монеты Y от времени ее оборота в годах Х приведена в таблице

Y = yi, мг	9,35	9,21	9,18	9,50	9,10	9,08	9,05	9,01	9,00	8,98
X = xi, лет	4,0	5,0	5,5	6,0	6,8	7,5	8,5	10,8	12,0	14,5