Пусть функция имеет производную в каждой точке некоторого множества . Тогда ее производную можно рассматривать как функцию, определенную на множестве . В свою очередь функция может в некоторых точках множества иметь производную. В этом случае производной второго порядка (второй производной) называется производная от производной . Для второй производной функции в точке x применяются обозначения:
Аналогично определяются производные 3-го, 4-го, и т.д. порядков.
Производной первого порядка (или первой производной) считается .
Примеры решения типовых задач
Пример 1. Найти вторую производную функции .
Решение. Сначала найдем и обязательно упростим полученное выражение:
.
Пример 2. Найти производную второго порядка от функции, заданной параметрически: .
Решение. Найдем производную первого порядка:
;
;
Пример 3. Найти производную n- го порядка: .
Решение. Найдем последовательно несколько производных высших порядков:
;
;
.
И так далее. Выведем формулу для n- го члена получившейся последовательности .