Примеры решения типовых задач

Пример 1. Составить уравнение нормали и уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой .

Решение. Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид: . Уравнение нормали имеет вид: .

Найдем производную функции в точке с абсциссой .

.

Запишем уравнения касательной к кривой в точке с абсциссой : или . Уравнение нормали в этой же точке: или .

Пример 2. Составить уравнения касательной и нормали к эллипсу в точке .

Решение. Находим производную неявной функции :

, откуда , . Подставляя значения , , в формулы уравнений касательной и нормали , получим или – уравнение касательной; или – уравнение нормали.

4.Дифференциал. Приближенные вычисления с помощью
дифференциала

Если для любого достаточно малого выполняется равенство , где - постоянная, - бесконечно малая функция при , то функция называется дифференцируемой в точке . Главная линейная часть приращения называют дифференциалом функции в точке и обозначают в виде

.

Подчеркнем, что дифференциал – это линейная функция от , бесконечно малая при .

Теорема. Для того чтобы функция имела производную , необходимо и достаточно, чтобы эта функция была дифференцируемой в точке , при этом .

На рис. 2 изображен график некоторой дифференцируемой функции в точке . Точки и на графике функции имеют соответственно координаты и .

Выражения геометрически означают длины следующих отрезков: . Треугольник ограничен горизонтальной линией , вертикальной линией и касательной к графику функции в точке . В силу геометрического смысла производной имеем: ; но тогда есть длина отрезка . Таким образом, с геометрической точки зрения дифференциал равен приращению ординаты касательной от точки до точки .

Заметим, что разделение приращения функции на две части: соответствует разделению отрезка : . Длина отрезка , как уже отмечалось, равна значению дифференциала, а длина отрезка – бесконечно малая более высокого порядка, чем . Действительно, из рисунка видно, что доля в отрезке стремится к нулю при .

В равенстве функция является б.м.ф. более высокого порядка, чем , следовательно, имеет смысл говорить о приближенных равенствах (при малых ):

, или .

Формула важна в задачах, когда известны значения функции и ее производной в точке и требуется вычислить значение функции в некоторой близкой к точке .

Примеры решения типовых задач

Пример 1. Найти дифференциал функции .

Решение. Сначала найдем первую производную исходной функции:

Далее в силу равенства получим .

Пример 2. Найти дифференциал функции, заданной неявно .

Решение. Найдем дифференциал обеих частей равенства. Получим . Отсюда выразим дифференциал :

.

Пример 3. Вычислить приближенно значение .

Решение. Воспользуемся формулой . Для этого определим функцию и положим , или в радианах и .

Тогда, учитывая, что , получим

, или

Для сравнения: имеет место равенство с четырьмя верными знаками.

Пример 4. Вычислить приближенно .

Решение. Рассмотрим функцию и выберем , . Найдем:

.

Тогда . Для сравнения: приближенно с точностью до 9-го знака после запятой.

Правило Лопиталя

Это правило нахождения некоторых пределов функций при помощи производных. Правило Лопиталя задается следующей теоремой.

Теорема. Пусть 1) функции и дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности точки , 2) (или ), 3) и в этой окрестности. Тогда, если существует , то существует и верно равенство

.

Замечание. Теорема верна и для случая ().

Замечание. Теорема верна и для случая

Замечание. Из условий теоремы следует, что функция является неопределенностью вида (или ) при , следовательно, теорема позволяет в некоторых случаях раскрыть эти неопределенности.

Часто правило Лопиталя применяется повторно следующим образом. Пусть при выполнении условий 1) – 3) теоремы является неопределенностью вида (или ). Тогда правило Лопиталя применяется повторно к и т. д. Если после нескольких повторных применений правила будет получено конечное или бесконечное значение предела, то оно будет равно .

Для раскрытия неопределенностей типа необходимо преобразовать соответствующее произведение , где и , например, (вид ) или (вид ).

В случае неопределенности вида необходимо преобразовать соответствующую разность , где и , в произведение и раскрыть сначала неопределенность ; если , то следует привести выражение к виду (вид ).

Неопределенности видов , , раскрываются с помощью предварительного логарифмирования и нахождения предела степени . Эти неопределенности сводятся к случаю неопределенности , при этом используется тождество .