2015-10-22
750
II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Производная функции. Основные правила дифференцирования
Понятие производной
Пусть функция 
определена в окрестности точки 
, 
- приращение аргумента 
, 
- приращение функции.
Определение. Производнойфункции 
в точке называется конечный предел 
, если он существует.
Производную функции в точке обозначают 
или 
. Через 
или 
обозначают производную функции в точке .
Таблица производных
1) 
| 2) 
|
3)  , 
| 4)  , 
|
5) 
| 6) 
|
7) 
| 8) 
|
9) 
| 10) 
|
11) 
| 12) 
|
Основные правила дифференцирования
Пусть 
– постоянная, и 
имеют производные в точке . Тогда:
1. 
,
2. 
,
3. 
,
4. 
, 
5. Производная сложной функции. Пусть функция 
имеет производную в точке 
а функция 
имеет производную в точке x. Тогда сложная функция 
имеет производную в точке , равную
.
6. Производная функции, заданной параметрически. Пусть функции 
задают параметрически функцию в окрестности точки 
, функции 
и 
имеют производные 
и 
в точке 
. Тогда функция также имеет производную в точке , и верна формула
|
|
|
.
7. Производная функции, заданной неявно. Если функция задана в виде 
, то производную 
можно найти по формуле:
.
8. Дифференцирование показательно-степенной функции. Для дифференцирования показательно-степенной функции 
, где и - имеют производные в точке , можно представить ее в виде:
.
Затем по правилу дифференцирования сложной функции получаем:
.
