Примеры решения типовых задач

Пример 1. Найти производную функции по определению.

Решение. Имеем:

.

Отсюда

.

Следовательно, .

Пример 2. Найти производную функции .

Решение. Воспользуемся правилами дифференцирования и таблицей производных:

Пример 3. Найти производную: .

Решение. Воспользуемся правилами дифференцирования и таблицей производных:

.

Пример 4. Найти производную функции .

Решение: Воспользуемся правилами дифференцирования:

.

Пример 5. Найти производную: .

Решение. При дифференцировании некоторых логарифмических выражений рациональнее предварительно упростить первоначальную функцию по свойствам логарифма:

;

Пример 6. Найти производную функции .

Решение. По формуле

имеем

Пример 7. Используя метод логарифмического дифференцирования, вычислить производную функции .

Решение. Применим метод логарифмического дифференцирования. Для этого предварительно прологарифмируем обе части данного выражения и используя свойства логарифма преобразуем правую часть.

.

Продифференцируем обе части равенства, учитывая, что сложная функция

Выражая производную искомой функция, получим

Учитывая, что , окончательно получим

Пример 8. Для функции, заданной параметрически, найти .

Решение. Находим производные от и от по параметру

, .

Искомую производную от по находим:

.

Пример 9. Найти производную , если .

Решение.

1 способ. Продифференцируем уравнение, считая переменную аргументом, а переменную функцией . Получим . Решаем уравнение относительно :

.

2 способ. . Воспользуемся формулой для нахождения производной функции, заданной неявно

.