Промежутки монотонности и экстремумы функций

Определение. Функция называется возрастающей (убывающей) в промежутке из области определения, если для любых из условия следует неравенство (соответственно ).

На рисунке 3 а функция возрастает в интервалах , , убывает в .

Под монотонностью понимается либо возрастание, либо убывание.

Теорема 3 (достаточное условие монотонности). Если функция дифференцируема в промежутке и () для всех , то возрастает (соответственно убывает) в промежутке .

Определение. Точка называется точкой минимума (максимума) функции , если для каждой точки этой окрестности (соответственно ). Значение функции называется минимумом (соответственно максимумом).

На рис. 3 а) – точка минимума, – точка максимума.

Под экстремумом функции (локальным) понимается либо минимум функции, либо её максимум.

Определение Точка из области определения функции , называется критической точкой, если дифференцируема в и .

Определение Точка из области определения функции , называется стационарной точкой, если не дифференцируема в .

На рис.3 б) – критическая, а на рис. 3 в) точка – стационарная.

Необходимое условие экстремума. Если - точка экстремума функции , то она является стационарной ил критической точкой этой функции.

На рис. б критическая точка является точкой экстремума, а на рис. в стационарная точка не является точкой экстремума. Таким образом, не всякая критическая или стационарная точка является точкой экстремума.

Первое достаточное условие экстремума. Пусть - критическая или критическая точка функции . Если в некоторой окрестности точки слева от производная принимает один знак, а справа от - противоположный, то - точка экстремума. При этом если слева , справа , то - точка максимума, в противном случае - точка минимума. Если в некоторой проколотой окрестности точки x ₀ производная имеет постоянный знак, то не является точкой экстремума. Если к тому же непрерывна в , то функция монотонна в этой окрестности (рис. 3 в)).

Второе достаточное условие экстремума. Пусть и существует . Тогда если , то - точка максимума. Если же , то - точка минимума.

Вторым достаточным условием экстремума удобно пользоваться, если достаточно сложно установить знак первой производной в окрестности точки экстремума.

При решении задач на поиск экстремумов функции одного переменного придерживаются следующей схемы рассуждений.

1) Установить область определения функции .

2) Найти ее первую производную.

3) Выяснить, в каких точках из области определения производная обращается в нуль , т.е. найти стационарные точки, и найти значения , при которых функция определена, а производная – нет, т. е. критические точки.

4) Определить знак производной на числовых интервалах, на которые стационарные и критические точки разбили область определения, сделать выводы о характере монотонности.

5) Если при переходе через найденную точку производная знак не меняет, то не является точкой экстремума; если в окрестности точки слева от нее , а справа , то - точка максимума исходной функции и ; если же в окрестности слева и справа, то - точка минимума исходной функции и .