Числовые характеристики вариационных рядов

Средние величины.

1. Среднее арифметическая (выборочная средняя) ().

Средней арифметической вариационного ряда называется сумма произведений всех вариантов на соответствующие частоты, деленная на сумму частот.

, , k – число интервалоа.

Для дискретных вариационных рядов: варианты, их частоты.

Для интервальных рядов: середины соответствующих интервалов, их частоты.

Для несгруппированного ряда все частоты n_i = 1, а

есть «невзвешенная» средняя арифметическая.

Свойства средней арифметической:

1. Средняя арифметическая постоянной равна самой постоянной.

2. Если все варианты увеличит (уменьшить) в одно и то же число раз, то средняя арифметическая увеличится (уменьшится) во столько же раз:

.

3. Если все варианты увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то средняя арифметическая увеличится (уменьшится) на то же число:

.

4. Средняя арифметическая отклонения вариант от средней арифметической равна нулю:

.

5. Средняя арифметическая алгебраической суммы нескольких признаков равна такой же сумме средних арифметических этих признаков:

.

2. Мода ( ).

Модой вариационного ряда называется вариант, которому соответствует наибольшая частота.

Для дискретного вариационного ряда мода равна варианту с большей частотой.

Для интервального вариационного ряда.

Модальным называется интервал с наибольшей частотой.

- левый конец модального интервала.

- длина модального интервала.

- частота модального интервала.

- частота предмодального интервала

- частота интервала, следующего за модальным.

3. Медиана ( ).

Медианой вариационного ряда называется значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений.

Для дискретного вариационного ряда:

Если для дискретного вариационного ряда n – нечетное число, то медиана равна варианте, приходящейся на середину этого ряда.

Если для дискретного вариационного ряда n – четное число, то медиана равна полусумме двух серединных вариант.

Для интервального вариационного ряда.

Медианным называется интервал, накопленная частота которого равна или превышает 0,5 суммы всех частот, чтобы найти накопленную частоту интервала нужно к его частоте прибавить частоты всех предшествующих интервалов

- левый конец медианного интервала.

- длина медианного интервала.

- частота медианного интервала.

Накопленная частота, предшествующего медианному,

Показатели вариации.

Средние величины не отражают изменчивости (вариации) значений признака.

Размах вариации.

Размах вариации равен разности между наибольшим и наименьшим вариантами ряда.