2015-10-22
901
Гидростатика
Гидростатика изучает законы равновесия жидкости. Под равновесием понимается отсутствие перемещения частиц жидкости относительно стенок сосуда и друг друга. При этом если стенки сосуда неподвижны, то говорят об абсолютном равновесии, если сосуд движется, то имеют в виду равновесие жидкости.
Жидкость при этом рассматривается как непрерывная среда, заполняющая пространство полностью без пустот и промежутков.
Вследствие текучести жидкости в ней не могут действовать сосредоточенные силы, а возможно лишь действие сил, непрерывно распределенных по ее объему или по поверхности. Поэтому силы, действующие на рассматриваемые объемы жидкости и являющиеся по отношению к ним внешними силами, подразделяются на массовые и поверхностные.
Массовые силы пропорциональны массе жидкого тела или для однородной жидкости пропорциональны его объему. Это силы тяжести и силы инерции переносного движения.
Поверхностные силы непрерывно распределены по поверхности жидкости и пропорциональны величине этой поверхности.
Поверхностная сила 
, действующая на площади 
, направлена под некоторым углом к ней и силу можно разложить на нормальную 
и тангенциальную 
составляющие. Первая направлена внутрь объема и называется силой давления, а вторая силой трения.
Выделив некоторую площадь, 
получим следующие определения:
- отношение силы трения к площади поверхности трения называется касательным напряжением трения
- отношение силы давления к площади поверхности воздействия называется средним гидростатическим давлением
При неограниченном уменьшении площади участка поверхности получим соответственно касательное напряжение 
и гидростатическое давление 
в точке:
Гидростатическоедавление обладает двумя свойствами:
1. Всегда направлено по нормали внутрь рассматриваемого объема жидкости и является сжимающим.
2. В любой точке покоящейся жидкости не зависит от ориентации площадки, на которую оно действует, т.е. оно действует одинаково по всем направлениям.
Первое свойство доказывается тем, что если бы в покоящейся жидкости была бы касательная составляющая, то она бы вывела жидкость из состояния равновесия и она начала бы двигаться вдоль площадки, т.е. перестала быть неподвижной.
Второе свойство доказывается следующим образом:
| Выделим в жидкости элементарный объем в виде прямоугольного тетраэдра с произвольными ребрами  . При этом произвольно наклоненная плоскость тетраэдра имеет
|
площадь 
и вдоль ее нормали 
действует давление 
. Сумма массовой и всех поверхностных сил, действующих на выделенный объем равна нулю. В частности, для сил, действующих вдоль оси 
где 
- проекция единичной массовой силы;
- плотность жидкости.
Учитывая, что 
, получим 
.
При уменьшении объема до точки 
приходим к равенству 
. Аналогично можно получить равенство 
и 
. Таким образом, в любой внутренней точке жидкости гидростатическое давление по всем направлениям одинаково.
Основное уравнение гидростатики
Определим условия равновесия жидкости.
| Жидкость содержится в сосуде. На ее свободную поверхность действует давление  . Найдем величину гидро-статического давления в произво-льно взятой точке М, расположенной на глубине  .
|
У точки М, как центра, возьмем элементарную горизонтальную площадку 
и построим на ней вертикальный цилиндрический объем высотой . Запишем сумму всех сил, действующих на рассматриваемый объем в вертикальном направлении:
Отсюда, сократив :
Величина является одинаковой для всех точек объема жидкости, поэтому, учитывая второе свойство гидростатического давления можно сказать, что давление, приложенное к внешней поверхности жидкости, передается всем точкам этой жидкости по всем направлениям одинаково. Это закон Паскаля.
Обозначив через 
координату точки М, а через 
- координату свободной поверхности жидкости и учитывая, что 
, получим
,
но так как точка М взята нами произвольно, то для всего рассматриваемого неподвижного объема жидкости
Координата называется нивелирной высотой.
Величина 
- пьезометрической высотой.
Сумма 
- гидростатическим напором.
Покажем то же более строго посредством интегрирования дифференциальных уравнений равновесия жидкости: для чего выделим элементарный прямоугольный объем жидкости.
| В общем случае давление в различных точках жидкости неодинаково. Это изменение в пространстве характеризу-ется градиентами давления:
 .
|
На поверхность 
действует сила 
на противоположную – сила 
Таким образом на параллелепипед вдоль оси 
действует результирующая поверхностных сил 
.
С учетом массовой силы уравнения равновесия выделенного объема по всем осям будут:
или в форме уравнений Эйлера:
Сложив уравнения и выделив полный дифференциал давления 
, получим окончательную запись общего уравнения гидростатики:
При абсолютном покое 
, поэтому общее уравнение гидростатики для этого случая:
,
где 
- ускорение свободного падения.
После интегрирования получим:
или 
учитывая, что -
