Основное уравнение гидростатики

Гидростатика

Гидростатика изучает законы равновесия жидкости. Под равновесием понимается отсутствие перемещения частиц жидкости относительно стенок сосуда и друг друга. При этом если стенки сосуда неподвижны, то говорят об абсолютном равновесии, если сосуд движется, то имеют в виду равновесие жидкости.

Жидкость при этом рассматривается как непрерывная среда, заполняющая пространство полностью без пустот и промежутков.

Вследствие текучести жидкости в ней не могут действовать сосредоточенные силы, а возможно лишь действие сил, непрерывно распределенных по ее объему или по поверхности. Поэтому силы, действующие на рассматриваемые объемы жидкости и являющиеся по отношению к ним внешними силами, подразделяются на массовые и поверхностные.

Массовые силы пропорциональны массе жидкого тела или для однородной жидкости пропорциональны его объему. Это силы тяжести и силы инерции переносного движения.

Поверхностные силы непрерывно распределены по поверхности жидкости и пропорциональны величине этой поверхности.

Поверхностная сила , действующая на площади , направлена под некоторым углом к ней и силу можно разложить на нормальную и тангенциальную составляющие. Первая направлена внутрь объема и называется силой давления, а вторая силой трения.

Выделив некоторую площадь, получим следующие определения:

- отношение силы трения к площади поверхности трения называется касательным напряжением трения

- отношение силы давления к площади поверхности воздействия называется средним гидростатическим давлением

При неограниченном уменьшении площади участка поверхности получим соответственно касательное напряжение и гидростатическое давление в точке:

Гидростатическоедавление обладает двумя свойствами:

1. Всегда направлено по нормали внутрь рассматриваемого объема жидкости и является сжимающим.

2. В любой точке покоящейся жидкости не зависит от ориентации площадки, на которую оно действует, т.е. оно действует одинаково по всем направлениям.

Первое свойство доказывается тем, что если бы в покоящейся жидкости была бы касательная составляющая, то она бы вывела жидкость из состояния равновесия и она начала бы двигаться вдоль площадки, т.е. перестала быть неподвижной.

Второе свойство доказывается следующим образом:

Выделим в жидкости элементарный объем в виде прямоугольного тетраэдра с произвольными ребрами

. При этом произвольно наклоненная плоскость тетраэдра имеет

площадь и вдоль ее нормали действует давление . Сумма массовой и всех поверхностных сил, действующих на выделенный объем равна нулю. В частности, для сил, действующих вдоль оси

где - проекция единичной массовой силы;

- плотность жидкости.

Учитывая, что , получим .

При уменьшении объема до точки приходим к равенству . Аналогично можно получить равенство и . Таким образом, в любой внутренней точке жидкости гидростатическое давление по всем направлениям одинаково.

Основное уравнение гидростатики

Определим условия равновесия жидкости.

Жидкость содержится в сосуде. На ее свободную поверхность действует давление

. Найдем величину гидро-статического давления

в произво-льно взятой точке М, расположенной на глубине

У точки М, как центра, возьмем элементарную горизонтальную площадку и построим на ней вертикальный цилиндрический объем высотой . Запишем сумму всех сил, действующих на рассматриваемый объем в вертикальном направлении:

Отсюда, сократив :

Величина является одинаковой для всех точек объема жидкости, поэтому, учитывая второе свойство гидростатического давления можно сказать, что давление, приложенное к внешней поверхности жидкости, передается всем точкам этой жидкости по всем направлениям одинаково. Это закон Паскаля.

Обозначив через координату точки М, а через - координату свободной поверхности жидкости и учитывая, что , получим

но так как точка М взята нами произвольно, то для всего рассматриваемого неподвижного объема жидкости

Координата называется нивелирной высотой.

Величина - пьезометрической высотой.

Сумма - гидростатическим напором.

Покажем то же более строго посредством интегрирования дифференциальных уравнений равновесия жидкости: для чего выделим элементарный прямоугольный объем жидкости.