Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением векторов называется скалярное произведение вектора на вектор . Смешанное произведение обозначается или и представляет собой некоторое число.

Выражение смешанного произведения через координаты.

Пусть заданы векторы , , . Смешанное произведение векторов вычисляется по формуле .

Некоторые приложения смешанного произведения.

1. Определение взаимной ориентации векторов в пространстве: если , то - правая тройка, если , то – левая тройка.

2. Установление компланарности векторов: векторы компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю ().

векторы компланарны.

Объем параллелепипеда, построенного на векторах вычисляется как , а объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен .

Пример. Вершинами пирамиды служат точки А(1;2;3), В(0;-1;1), С(2;5;2) и D(3;0;2). Найти объем пирамиды.

Решение. Находим векторы .

.

Находим :

.

Следовательно, куб. ед.