Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначается , ∙ . Итак, по определению , где .

Свойства скалярного произведения.

1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: .

2. Скалярное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя: .

3. Скалярное произведение обладает распределительным свойством: .

4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: .

.

В частности: .

Если векторы и (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т.е. если , то . Справедливо и обратное утверждение: если и , то .

В частности: .

Скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат .

Некоторые приложения скалярного произведения

Угол между векторами

Определение угла φ между ненулевыми векторам и :

, т.е. .

Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов и :

.

Работа постоянной силы

Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из положения А в положение В под действием силы , образующей угол φ с перемещением .

φ

В

А

Из физики известно, что работа силы при перемещении равна , т.е. . Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.

Пример 1. Вычислить работу, произведенную силой , если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положения А(2;4;6) в положение В(4;2;7). Под каким углом к АВ направлена сила ?

Решение. Находим . Стало быть,

(ед. работы).

Угол φ между и находим по формуле .

, .

Пример 2. Векторы заданы в пространстве своими координатами. , , .

Найти: косинус угла между векторами и .

Решение.

Найдем векторы: ,

.

Найдем длины и скалярное произведение векторов:

,

,

.

Косинус угла между полученными векторами находим по формуле

.