Число А называется пределом функции при , если для любого положительного числа найдется такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Записывают .
Аналогично:
, если при , N – произвольное положительное число.
, если при , где М – произвольное сколько угодно большое положительное число. В этом случае функция называется бесконечно большой величиной при .
Если , то функция называется бесконечно малой величиной при .
Простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций можно записать с помощью следующих условных соотношений: A ≠ 0
.
Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах.
Если существуют конечные и , то
1)
2)
3) (с – константа)
4) , ().
Обычно для отыскания предела используют теоремы о пределах. Из этих теорем следует: если предельная точка входит в область определения функции, стоящей под знаком предела, то для его отыскания нужно найти значение функции в этой точке.
Пример 1.
|
|
а) б)
Но часто теоремы о пределах применить нельзя. Это бывает в случаях, так называемых неопределенных выражений: . Рассмотрим основные способы раскрытия неопределенностей.
Пример 2. Найти предел
Решение. Теорему о пределе частного применять нельзя, т.к. числитель и знаменатель неограниченно возрастают при . Имеем неопределенность вида . В подобных примерах числитель и знаменатель дроби целесообразно разделить на высшую степень переменной. В нашем примере разделим числитель и знаменатель на , затем перейдем к пределу.
Пример 3. Найти предел
Решение. Подставляя х=2 в числитель и знаменатель дроби получим неопределенность вида . В подобных примерах, когда числитель и знаменатель многочлены, их необходимо разложить на множители, после этого дробь сократить и прейти к пределу. Для разложения на множители квадратного трехчлена используем формулу , где х1,х2 – корни соответствующего квадратного уравнения
.
Пример 4. Найти предел
Решение. Если под знаком предела имеется иррациональность, то для раскрытия неопределенности умножают числитель и знаменатель дроби на выражение сопряженное иррациональному, полученную дробь сокращают и переходят к пределу.
Пример 5. Найти предел
Решение. Преобразуем выражение, приведем дроби к общему знаменателю: