2015-10-22
343
Число А называется пределом функции 
при 
, если для любого положительного числа 
найдется такое положительное число 
, что для всех 
, удовлетворяющих неравенству 
, выполняется неравенство 
. Записывают 
.
Аналогично:
, если 
при 
, N – произвольное положительное число.
, если 
при , где М – произвольное сколько угодно большое положительное число. В этом случае функция называется бесконечно большой величиной при .
Если 
, то функция называется бесконечно малой величиной при .
Простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций можно записать с помощью следующих условных соотношений: A ≠ 0
.
Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах.
Если существуют конечные 
и 
, то
1) 
2) 
3) 
(с – константа)
4) 
, (
).
Обычно для отыскания предела используют теоремы о пределах. Из этих теорем следует: если предельная точка входит в область определения функции, стоящей под знаком предела, то для его отыскания нужно найти значение функции в этой точке.
Пример 1.
а) 
б) 
Но часто теоремы о пределах применить нельзя. Это бывает в случаях, так называемых неопределенных выражений: 
. Рассмотрим основные способы раскрытия неопределенностей.
Пример 2. Найти предел 
Решение. Теорему о пределе частного применять нельзя, т.к. числитель и знаменатель неограниченно возрастают при 
. Имеем неопределенность вида 
. В подобных примерах числитель и знаменатель дроби целесообразно разделить на высшую степень переменной. В нашем примере разделим числитель и знаменатель на 
, затем перейдем к пределу.
Пример 3. Найти предел 
Решение. Подставляя х=2 в числитель и знаменатель дроби получим неопределенность вида 
. В подобных примерах, когда числитель и знаменатель многочлены, их необходимо разложить на множители, после этого дробь сократить и прейти к пределу. Для разложения на множители квадратного трехчлена используем формулу 
, где х1,х2 – корни соответствующего квадратного уравнения
.
Пример 4. Найти предел 
Решение. Если под знаком предела имеется иррациональность, то для раскрытия неопределенности умножают числитель и знаменатель дроби на выражение сопряженное иррациональному, полученную дробь сокращают и переходят к пределу.
Пример 5. Найти предел 
Решение. Преобразуем выражение, приведем дроби к общему знаменателю:
