Краткие сведения из теории и примеры решения задач

Пусть функция определена в точке и в некоторой окрестности этой точки.

Функция называется непрерывной в точке , если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е. .

Это равенство означает выполнение трех условий:

1) Функция определена в точке и в её окрестности;

2) функция имеет предел при ;

3) предел функции в точке равен значению функции в этой точке.

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если - точка разрыва функции , то в ней не выполняется, по крайней мере, одно из условий первого определения непрерывности функции,

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Точка разрыва называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т.е. и . При этом: а) если , то точка называется точкой устранимого разрыва;

б) если , то точка называется точкой конечного разрыва. Величину называют скачком функции в точке разрыва первого рода.

Точка разрыва функции называется точкой разрыва второго рода, если, по крайней мере, один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Пример 1.

Функция не определена в точке . Для функции - точка разрыва второго рода.

Пример 2.

Для функции , является точкой устранимого разрыва. Положив при , разрыв устранится, функция станет непрерывной.

Пример 3.

Найти точки разрыва функции , если они существуют и построить график функции.

Данная функция задана несколькими аналитическими выражениями, каждое из которых представляет элементарную функцию. Поэтому, если данная функция имеет точки разрыва, то ими будут те точки, в которых она меняет аналитическое выражение, т.е х=0 и х=2. Исследуем эти точки. Найдем односторонние пределы в этих точках и значение функции.

х= 0

-2

Односторонние пределы конечны, но не равны между собой. Поэтому точка х=0 - точка разрыва.

х= 2

Все условия непрерывности в точке х=2 выполнены, функция в данной точке непрерывна.

Строим график данной функции (рис.6).

Рисунок 6

12.2 Задания для самостоятельной работы.

Функция задается различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Требуется найти точки разрыва функции, если они существуют, построить график функции.