Лабораторна робота № 8

Розв’язання диференційних рівнянь. Задача Коші

Теоретичні відомості

Постановка задачі Коші: знайти розв’язок y(x) звичайного диференційного рівняння першого порядку:

, (8.1)

що задовольняє початковій умові:

. (8.2)

Чисельний розв’язок на відрізку [ а, b ] задачі Коші полягає в побудові таблиці наближених значень y ₀, y ₁,..., y_i,... y_N розв’язку у вузлах сітки

a=x ₀ < x ₁ <... < x_i <...< x_n=b.

Метод Ейлера. Розрахункова формула метода:

, де . (8.3)

Приклад 8.1.Розв’язати задачу Коші методом Ейлера.

, .

, , , .

x₀=0.785, y₀=1.

i=1 x₁= ,

i=2 x₂= ,

i=3 x₃= ,

i=4 x₄=1.257+0.157=1.414 ,

i=5 x₅=1.414+0.157=1.571 .

В MathCad диференційні рівняння можна розв’язати за допомогою функцій:

– odesolve (x,b,n) – повертає функцію, яка є розв’язком звичайного диференційного рівняння та задовольняє початковим або граничним умовам:

x – ім’я змінної інтегрування;

b – кінцева точка інтервалу інтегрування (початкова точка задається в початкових умовах);

n – необов’язковий параметр, який визначає кількість точок, де обчислюється розв’язок.

Примітка:

1) Функція odesolve використовується разом з ключовим словом Given.

2) У функції обов’язково вказувати аргумент, тобто y(x), а не y.

3) При введенні рівнянь використовується знак логічної рівності (комбінація клавіш Ctrl та =).

4) Диференційне рівняння необхідно записувати у вигляді, коли воно розв’язане відносно старшої похідної.

5) Символ похідної вводиться або з панелі Calculus (кнопка ) або комбінацією клавіш [Ctrl][F7].

– rkfixed (y0,a,b,N,D) – повертає матрицю розв’язків ОДУ методом Рунге-Кута. Перший стовпець матриці містить точки, в яких обчислюється розв’язок (тобто значення змінної х), другий – значення невідомої функції y(x).

y0 – вектор початкових умов;

D – вектор, що містить праві частини ОДУ;

N – кількість кроків;

a, b – границі інтегрування.

Завдання

1. Розв’язати задачу Коші методом Ейлера.

2. Розв’язати задачу Коші за допомогою функції odesolve.

3. Розв’язати задачу Коші за допомогою функції rkfixed.

4. Побудувати графіки отриманих розв’язків.

Порядок виконання

Розв’язання методом Ейлера

Розв’язання за допомогою вбудованої функції odesolve

Розв’язання за допомогою вбудованої функції rkfixed

– обчислення розв’язку у 10 точках на інтервалі [a, b]

Графіки розв’язків, отриманих методом Ейлера та Рунге-Кутта

Контрольні питання

1. Що таке диференційне рівняння?

2. Постановка задачі Коші.

3. Що таке чисельний розв’язок диференційного рівняння?

4. Суть метода Ейлера.

5. Розрахункова формула метода Ейлера.

6. Призначення та аргументи функції odesolve.

7. Призначення та аргументи функції rkfixed.

8. В якому вигляді повертає результат функція odesolve.

Варіанти завдань

Продовження таблиці