Лабораторна робота № 7

Чисельне інтегрування

Теоретичні відомості

Для наближеного обчислення інтеграла інтервал [a,b] розбивають на n частин точками ,…, , де – крок.

Формула центральних прямокутників:

. (7.1)

Оцінка погрішності методу має вигляд:

, де . (7.2)

Формула трапецій:

. (7.3)

Помилка обмеження при використанні методу трапецій:

. (7.4)

У разі, коли число відрізків розбиття парне (n=2m), формула Сімпсона має вигляд:

. (7.5)

Оцінка погрішності для формули Сімпсона

, . (7.6)

Приклад 7.1. Обчислити наближені значення інтеграла за формулами центральних прямокутників, трапецій і Сімпсона з кроком h=0.1.

Складемо таблицю значень функції на інтервалі [1, 2] з кроком h=0,1.

Для обчислень за формулою прямокутників:

, , i=1, 2, … N,

– кількість інтервалів розбиття.

Наприклад, .

Для обчислень за формулами трапецій та Сімпсона:

, , i=0, 1, … N.

	Для методу прямокутників	Для методу трапецій і Сімпсона
i	X	y	x	Y
			1.00000	0.00000
	1.05000	0.05123	1.10000	0.10484
	1.15000	0.16073	1.20000	0.21879
	1.25000	0.27893	1.30000	0.34107
	1.35000	0.40514	1.40000	0.47106
	1.45000	0.53877	1.50000	0.60820
	1.55000	0.67930	1.60000	0.75201
	1.65000	0.82628	1.70000	0.90207
	1.75000	0.97933	1.80000	1.05802
	1.85000	1.13809	1.90000	1.21952
	1.95000	1.30227	2,00000	1,38629

Завдання

1. Обчислити значення інтеграла у символьному вигляді.

2. Обчислити наближене значення інтеграла методом прямокутників, трапецій, Сімпсона та оцінити погрішність за формулами (7.2)–(7.6).

3. Використовуючи панель програмування, написати функцію обчислення інтеграла за формулою Сімпсона з точністю 0,0001. Погрішність оцінювати за правилом Рунге. Побудувати графік залежності значення інтегралу від кількості інтервалів.

Порядок виконання

Визначення підінтегральної функції:

Границі інтегрування та крок:

Обчислення первісної:

Перевірка:

Обчислення визначеного інтеграла у символьному вигляді

Чисельне інтегрування

Кількість інтервалів розбиття:

Побудова таблиці значень функції для метода прямокутників:

Розрахунок за формулою прямокутників:

Символьне обчислення другої похідної:

Графік модуля другої похідної:

Видно, що максимальне значення модуль другої похідної приймає в точці x=a.

Обчислення погрішності за формулою (7.2):

Точне значення погрішності:

Побудова таблиці значень для методу трапецій:

Обчислення інтеграла за методом трапецій:

Обчислення похибки:

Точне значення похибки:

Обчислення інтегралу за методом парабол:

Символьне обчислення четвертої похідної:

Графік модуля четвертої похідної та обчислення похибки:

Точне значення похибки:

Примітка: Кількість знаків після коми задається в меню Format/result шляхом установки значення в полі Number of decimal places.

Обчислення інтеграла за формулою Сімпсона (7.5)

m – ціле число, що визначає кількість інтервалів розбиття (n=2m);

Sum4, Sum2 – суми значень функції, які входять до формули Сімпсона з множником 4 та 2 відповідно;

d – погрішність;

ε – точність обчислення наближеного значення інтеграла;

I1, I2 – значення інтеграла, обчислені з кроком h і h/2 відповідно.

Для обчислення інтеграла з точністю 10^–5 необхідно 8 інтервалів, при цьому похибка складає 4,82×10^–6.

Точне значення інтеграла:

Графік залежності наближеного значення інтеграла від n (суцільна лінія відповідає точному значенню інтеграла):

Контрольні питання

1. Суть чисельного інтегрування.

2. В чому різниця між методами прямокутників, трапецій та Сімпсона?

3. Як впливає на точність інтегрування величина кроку?

4. Як оцінити погрішність за правилом Рунге?

Варіанти завдань

Непарні номери обчислюють інтеграл методами прямокутників і парабол, а парні – трапецій і парабол. Точність обчислень 0,001.

№	f(x)	a	b

Продовження таблиці

		–1
		–1
			6,5