Теорема. Пусть f(x) непрерывна на [ a, b ], введем подстановку . Если
1) непрерывны при ,
2) при изменении t от до , функция изменяется от a до b, , то справедлива формула замены переменной:
Пример (см. задание 2):
Вычисление площадей плоских фигур
– площадь криволинейной трапеции.
Площадь фигуры, ограниченной линиями , находим по формуле
Эта формула остается справедливой при любом расположении рассматриваемой фигуры.
Пример (см. задание 3):
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: , .
1) Найдем точки пересечения данных кривых.
;
;
;
; .
2) Построим графики данных функций.
(для прямой )
(парабола ).
4 Дифференциальные уравнения
Основные понятия
1. Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производные:
.
2. Наивысший порядок производной искомой функции, входящей в ДУ, называется порядком ДУ.
3. Решить ДУ – это значит найти все функции, которые ему удовлетворяют, т. е. при подстановке их в уравнение, оно обращается в тождество.
|
|
4. Нахождение решений ДУ называется интегрированием ДУ, график решения ДУ называется интегральной кривой.