Свойства определенного интеграла

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ;

6) Если , то ;

Если , то .

Следствие. Если , то .

7) Если f(x) непрерывна на [ a, b ], m, M - ее соответственно наименьшее и наибольшее значение на [ a, b ], то справедлива оценка

8) (Теорема о среднем). Если f(x) непрерывна на [ a, b ], то существует хотя бы одна точка такая, что

Формула Ньютона-Лейбница

Пусть f(x) – непрерывна на [ a, b ], F(x) – первообразная функции f(x) на [ a,b ], тогда определенный интеграл равен приращению первообразной (т.е. неопределенного интеграла) на этом отрезке:

Примеры

1) ;

2)

Интегрирование по частям

(см. интегрирование по частям в разделе "Неопределенный интеграл")

Формула интегрирования по частям для определенного интеграла имеет вид

Пример.