Приклади розв’язання типових задач

Задача 1. З’ясувати, чи є алгебраїчними операціями додавання та скалярний добуток двох векторів, заданих на множині векторів площини.

Розв’язання. Додавання двох векторів площини є бінарною операцією, оскільки для довільних векторів можна однозначно побудувати вектор . Скалярний добуток двох векторів площини не є бінарною операцією в множині , бо скалярний добуток є число, а не вектор, і, отже, не є елементом множини .

Задача 2. З’ясувати, чи буде алгебраїчною операцією знаходження спільного дільника натуральних чисел і в множині .

Розв’язання. Для будь-яких натуральних чисел можна знайти їх спільний дільник, але результат цієї дії може бути неоднозначним: числа і можуть мати кілька спільних дільників. Отже, знаходження спільного дільника двох натуральних чисел не є алгебраїчною операцією.

Задача 3. З’ясувати, чи будуть алгебрами структури: a) ; b) . Знайти підалгебри.

Розв’язання. Структура є алгеброю, оскільки множення є алгебраїчною операцією на множині : . Підалгеброю буде структура , оскільки і множина є замкненою відносно операції множення.

Структура не є алгеброю, оскільки додавання не є алгебраїчною операцією на множині : .

Задача 4. Нехай задано алгебру , носієм якої є множина додатніх дійсних чисел , з бінарною операцією множення, унарною операцією знаходження оберненого елемента і нульарною операцією 1 та алгебру того ж типу . Довести, що відображення є ізоморфізмом.

Розв’язання. Доведемо, що відображення є гомоморфізмом алгебр та . Для кожної з заданих операцій маємо: ; ; . Кожна з цих рівностей вірна для будь-яких за властивістю логарифмів. Доведемо, що відображення є взаємно однозначним. Нехай , але . Тоді

Отримали протиріччя. Отже, відображення є ізоморфізмом алгебр та .

Задача 5. Класифікувати алгебри:

a) , де – множина квадратних матриць розмірності ;

b) .

Розв’язання. Алгебра – некомутативний моноїд, оскільки множина квадратних матриць є замкненою відносно множення; множення матриць є асоціативною операцією. Нейтральним елементом є одинична матриця : для довільної матриці виконується рівність . Ця алгебра не є групою, оскільки обернені існують лише для невироджених матриць.

Розглянемо алгебру . Множина є замкненою відносно множення (див. задачу 3), ця операція асоціативна і комутативна, як множення дійсних чисел. Елемент 1 є нейтральним, для кожного елемента існує обернений: . Отже, – абелева група.

1. Чи будуть алгебраїчними операціями додавання, віднімання, множення та ділення, задані на: a) ; b) ?

2. Нехай . Вказати алгебраїчні операції та визначити їх властивості, якщо:

a) ; с) ;

b) ; d) .

3. Нехай . Знайти замикання множин .

4. Скласти таблицю для закону композиції поворотів площини квадрата навколо його центру, при яких квадрат суміщається сам з собою.

5. Побудувати декілька підалгебр алгебри . На прикладах з’ясувати, чи буде підалгеброю та , де – деякі підалгебри.

6. Вказати систему твірних для алгебр: a) ; b) .

7. З’ясувати, чи буде відображення гомоморфізмом алгебр та , якщо:

a) ;

b) ;

c) .

8. Класифікувати тип алгебр:

a) ; с) ; e) ;

b) ; d) ; f) .

9. Чи буде абелевою групою алгебра , де .

10. Класифікувати тип алгебр:

a) множина цілих чисел, кратних (), з операціями додавання та множенням;

b) множина квадратних матриць розмірності () з операціями додавання та множення;

c) множина многочленів від однієї змінної скінченного степеня з дійсними коефіцієнтами з операціями додавання та множення;

d) множина раціональних чисел с операціями додавання та множення.

11. З’ясувати тип алгебри, носієм якої є множина і операції додавання та множення задані таким чином:

Знайти елементи, які мають обернені відносно множення.

12. Побудувати булеву алгебру на множині .

1. Чи будуть алгебраїчними операціями додавання, віднімання, множення та ділення, задані на: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ?

2. З’ясувати, чи будуть алгебраїчними операціями додавання, віднімання, множення та ділення, задані на множині , де .

3. З’ясувати, чи будуть алгебрами структури:

a) ; с) .

b) ;

4. З’ясувати, чи будуть асоціативними та комутативними операції, задані на :

a) ; b) ; c) .

5. Вказати систему твірних для алгебри . Чи буде системою твірних множина векторів ?

6. Побудувати декілька підалгебр алгебри . Чи може носієм підалгебри бути скінченна множина?

7. Нехай – булеан . Побудувати дві підалгебри алгебри .

8. З’ясувати, чи буде відображення гомоморфізмом алгебр та , якщо:

a) ;

b) ;

c) , де – скінченна множина, – її булеан.

9. Нехай , де – множина квадратних матриць -го порядку (), . З’ясувати, які з відображень є гомоморфізмами, якщо: a) b) c)

10. З’ясувати тип алгебри:

a) ; d) ;

b) ; e) , де

c) ; f) .

11. Чи буде абелевою групою алгебра , де .

12. Скласти таблицю для закону композиції на множині рухів та відображень ромба, які суміщають ромб сам з собою. Побудувати алгебру, визначити її тип.

13. Задати множину підстановок множини . Побудувати алгебру, визначити її тип, виписати всі її підалебри.

14. Класифікувати тип алгебр:

a) множина цілих чисел з операціями додавання та множенням;

b) множина комплексних чисел з операціями додавання та множення.

15. Чи утворює кільце відносно операції додавання та множення множина всіх дробів із знаменником 7?

16. Нехай задана множина матриць виду , де . Визначити тип алгебри .

17. З’ясувати, чи буде булевою алгеброю , де

1. Нехай , де – множина квадратних матриць другого порядку, елементами яких є цілі числа. Нехай

Знайти замикання .

2. Нехай , де – множина квадратних матриць другого порядку, елементами яких є цілі числа. Довести, що множина є системою твірних алгебри

3. Нехай задана алгебра , де операція визначена наступним чином Вказати підалгебри , з’ясувати, чи існують під- алгебри з двохелементним носієм. Чи буде алгебра півгрупою?