Приклади розв’язання типових задач

Задача 1. Нехай . Визначити, які з наведених тверджень є правильними, а які – ні. Відповідь обґрунтувати.

a) ; b) ; c) ;

d) ; e) ; f) .

Розв’язання.

a) Твердження правильне, тому що об’єкт міститься у множині .

b) Твердження також правильне, оскільки множина не містить об’єкта .

c) Твердження невірне, тому що серед елементів множини немає елемента Æ.

d) Твердження правильне, оскільки для елементів множини маємо: , отже, .

e) Твердження невірне, оскільки елемент , але .

f) Твердження вірне, оскільки множина Æ не має елементів, тому умова не порушується для жодного .

Задача 2. Обчислити наведені вирази при заданих множинах , , , та .

a) ; b) ; c) ; d) ; e) .

Розв’язання.

a) Оскільки лише елементи 5 та 6 є спільними для множин та , то .

b) Очевидно, не існує жодного елемента, який би належав як множині , так й множині . Отже, множина не містить жодного елемента, тобто є порожньою: .

c) Елементи 2, 8, 0 належать множині і одночасно не належать множині , тому .

d) Оскільки , то, скориставшись рівністю , маємо . Ми отримали елементи, які належать або тільки множині , або тільки множині , але не обом множинам та одночасно.

e) Оскільки , то – множина елементів, які належать універсальній множині і не належать множині . Остаточно, .

Задача 3. Довести, що для будь-яких множин і .

Розв’язання. Для доведення вказаної рівності достатньо показати, що та . Доведемо спочатку, що . Використовуючи визначення операцій різниці, перетину множин та операції доповнення множини, маємо: та та , отже, доведено, що , а це означає, що . Тепер покажемо, що : , отже, .

Задача 4. Довести, що з випливає для будь-яких множин .

Розв’язання. Потрібно показати, що за умови . Іншими словами, при доведенні включення можна користуватися не лише загальними відомостями про множини (такими, наприклад, як означення підмножини та операцій над множинами), але й тим, що . Отже, нехай . Тоді, згідно з означенням операції перетину множин, маємо: та . Оскільки , то з того, що , випливає . Отже, з того, що та , випливає , тобто .

Задача 5. Довести, що для будь-яких множин .

Розв’язання. Для доведення цієї еквівалентності потрібно показати, що та .

Доведемо спочатку, перше з цих тверджень. Для цього доведемо включення за умови, що . Отже, нехай . Звідси випливає, що та (тобто ). Оскільки , то , отже, або . Але відомо, що , тобто залишається тільки можливість . Таким чином, показано, що , а це означає, що .

Доведемо друге твердження: . Потрібно показати, що за умови . Нехай . Для довільної множини або , або . Розглянемо окремо кожен з цих випадків. Нехай . Тоді з означення операції об’єднання множин випливає, що є елементом множини, яка є об’єднанням множини з будь-якою множиною. Отже, . Розглянемо тепер другий випадок, тобто . Тоді , а оскільки , то . Але відомо, що , а це означає, що , тобто .

Доведення можна записати таким чином:

, , ,

або , .

, або 1) , або 2) , .

1) , .

2) , , .

Задача 6. Використовуючи основні теореми та аксіоми алгебри множин, довести, що .

Розв’язання. Для спрощення виразу в лівій частині рівності послідовно застосуємо закон де Моргана, тотожність , закон асоціативності та закон ідемпотентності :

.

Задача 7. Спростити вираз .

Розв’язання. Маємо

.

При спрощенні даного виразу послідовно застосовувалися закон дистрибутивності (до виразу ), тотожності та . При перетвореннях також використовувались закони асоціативності та комутативності.

Задача 8. Нехай . Побудувати та .

Розв’язання. Декартовим добутком множин та є множина

.

Декартовим степенем множини є множина

.

Задача 9. Довести, що .

Розв’язання. Доведемо спочатку, що . Множина є декартовим добутком двох множин та , отже, елементи цієї множини – це впорядковані пари. Таким чином, маємо: або та або та або . Це і означає, що .

Тепер покажемо, що . Аналогічно попередньому випадку або та або та .

Розглянемо випадок та . Маємо: та . Якщо та , то маємо: та . Отже, у кожному випадку доведено, що . Таким чином, рівність виконується.

A2

1. Задати множину іншим способом:

a) – корінь рівняння ;

b)

c)

d) , де .

2. Вказати вірні співвідношення:

a) 1 {1, 2, 3}; f) 1 {1, 2, 3}; k) 0 Ø;

b) 1 {{1, 2, 3}}; g) {1} {1, 2, 3}; l) Ø {Ø};

c) {1} {1, 2, 3}; h) {1} {{1, 2, 3}}; m) Ø {1, 2};

d) {1} {{1}, { 2, 3}}; i) {1} {{1, 2}, 3}; n) Ø {Ø};

e) 1 {{1}, { 2}, 3}; j) {1, 2} {1, 2, 3}; o) Ø {1, 2}.

3. Вказати вірні співвідношення:

a) c)

b) d)

4. Нехай – скінченні множини. Вказати вірні твердження:

a) d)

b) e)

c) f) .

6. Нехай – множина всіх парних чисел, – множина всіх чисел, які можуть бути представлені у вигляді суми двох непарних чисел. Довести, що

7. Побудувати булеан множини , тобто множину всіх її підмножин.

8. Яку кількість підмножин містить

a) порожня множина;

b) одноелементна множина;

c) двоелементна множина.

9. Зі скількох елементів складається множина , якщо її булеан містить 32 елементи?

10. Довести, що нескінченна множина має безліч підмножин.

11. Які з даних тверджень справедливі для будь-яких множин

а) і

b) і ?

Відповідь обґрунтувати.

12. Нехай , , . Побудувати .

13. Чи виконується для довільних множин і рівність Відповідь обґрунтувати.

14. Довести закон де Моргана

15. Довести включення .

16. Довести еквівалентності:

a) ;

b) ;

c) .

17. За допомогою діаграм Венна перевірити теоретико-множинну рівність . Довести її двома способами.

18. Довести тотожності, використовуючи основні теореми та аксіоми алгебри множин:

a) ;

b) ;

c) .

19. Спростити вираз ( – універсальна множина):

a) ;

b) .

20. Побудувати приклади розбиття та покриття множини .

21. Побудувати , якщо , .

22. Нехай – скінченні множини, причому . Скільки елементів містить множини ?

23. Що можна сказати про множини і , якщо:

a) ; b) .

24. Побудувати , якщо , , .

25. Зобразити на площині такі множини:

a) ; b) .

26. Довести, що для довільних множин виконується .

27. Довести, що для довільних непорожніх множин виконується і .

B2

1. Чи є множиною рівність:

а) ;

b) ;

с) ?

2. З яких елементів складається множина якщо

3. Нехай . Навести декілька вірних співвідношень із знаками належності та включення.

4. Визначити всі можливі співвідношення (рівності, нерівності, включення, строге включення) між такими множинами геометричних фігур:

– множина всіх ромбів;

– множина всіх ромбів, усі кути яких прямі;

– множина всіх квадратів;

– множина прямокутників, усі сторони яких рівні;

– множина всіх прямокутників;

– множина чотирикутників, усі кути яких прямі.

5. Чи існують такі множини та , що і ?

6. Які з наведених тверджень є правильними ( – множини):

a) якщо і то

b) якщо і то

У тих випадках, коли твердження невірне, разом із контрприкладами побудуйте окремі приклади, для яких воно виконується.

7. Для заданої множини побудувати множину всіх підмножин

a) Ø; b) {Ø}; c) .

8. Маючи множини , за допомогою операцій та доповнення записати множини елементів, які

a) належать всім трьом множинам;

b) належать принаймні двом з даних множин;

c) належать хоча б одній з цих множин;

d) не належать будь-яким двом множинам, але належать хоча б одній з них;

e) не належать жодній із множин.

9. Нехай – множина всіх прямокутників, – множина всіх ромбів на площині. З яких елементів складається множина

a) ; b) ; c) ?

10. Нехай Обчислити

a) ; b) ; c)

11. Що можна сказати про множини і , якщо:

а) ; b) ; c) ;

d) ; e) ; f) ;

g) ; h) ; i) .

12. Довести еквівалентності:

a) і ; b) .

13. Довести один із законів поглинання.

14. За допомогою діаграм Венна перевірити такі рівності:

a) ; b) .

15. Довести тотожності шляхом рівносильних перетворень.

а) ; d) ;

b) ; e) .

c) ;

16. Спростити вирази:

a) ;

b) ;

с) .

17. Чи можна побудувати 10 різних покриттів множини ?

18. Знайти всі розбиття множини .

19. Із вказаних нижче множин підібрати такі їх системи, які задавали б розбиття множини всіх цілих чисел :

;

;

– множина всіх цілих додатних чисел;

– множина всіх цілих від’ємних чисел;

– множина всіх парних чисел;

– множина всіх непарних чисел;

– множина всіх простих чисел;

– множина всіх складених натуральних чисел.

Навести два приклади покриття множини .

20. Побудувати , якщо , , .

21. Побудувати , якщо .

22. Коли в множині є хоча б один елемент з однаковими першою та другою координатами?

23. Довести тотожність , де – непорожні множини.

24. Довести, що для довільних непорожніх множин виконується твердження .

С2

1. Чи існують такі множини , для яких виконувалися б умови:

a) ;

b) .

2. Нехай – довільна множина. Обчислити:

a) ; d) ; g) ;

b) ; e) ; h) ;

c) ; f) ; i) .

3. Обчислити:

a) ; c) ; e) ;

b) ; d) ; f) .

4. Нехай – скінченні множини, , . Обчислити .

5. На фірмі працюють 67 чоловік. З них 47 співробітників володіють англійською мовою, 35 – німецькою, 23 володіють обома мовами. Скільки співробітників фірми не знають жодної іноземної мови?

6. Довести узагальнені закони:

a) ;

b) .

7. Спростити

a) ;

b) .

8. Довести тотожності:

a) ;

b) ;

с) ;

d) .

9. Довести , де – булеани множин та відповідно.

10. Яким повинно бути розбиття скінченної множини на два класи , щоб декартів добуток містив найбільшу кількість елементів?

11. Чи істинними будуть твердження:

a) ; b) ; с) Ø.

Відношення