2015-10-22
869
Опр.1. Функция y= f (x): v(x0)®R называется дифференцируемой в точке х0, если ее приращение в этой точке Dy= f (x0+Dx)- f (x0).
Dx=x-x0, представимо в виде:
Dy=A Dx+a(Dx)Dx, (1)
где А- некоторая const, не зависящая от Dx, а a(Dх)®0 при Dх®0.
Опр.2. Главная линейная часть приращения функции относительно Dх называется дифференциалом функции f в точке х0 и обозначается d f (x0) или, короче, dy=ADx. Таким образом,
Dy=dy+0(Dx) при Dх®0 (2).
Т.к. 
Для большей симметрии записи дифференциала приращение Dх обозначают dх и и называют его дифференциалом независимого переменного. Таким образом, dy=Adx.
Пример 1. Доказать, что функция y=x2-x+3 диффенцируема
на R.
Решение: возьмем "хÎR, дадим ей приращение Dх, тогда
Dу= f (x+Dx)- f (x)=(x+Dx)2-(x+Dx)+3-(x2-x+3)=x2+2xDx+(Dx)2-x-Dx+3-x2+x-3= (2x-1)Dx+(Dx)2
где (Dх)2=0(Dх), т.к. 
=Dх®0 при Dх®0.
Т.о. Dу=АDх+0(Dх), где А=2х-1, т.е. Dу представимо в виде (1) в "хÎR.
Теорема: Для того, чтобы функция y= f (x):U(x0)®R была дифференцируемой в точке х0Û она имела производную в х0, при этом dy= f /(x0)dx.
Пример 2. Доказать, что функция 
не дифференцируема в точке 
=0.
Решение: Имеем
|
|
|
т.е. в точке =0 не дифференцируема.
Пример 3. Пользуясь понятием дифференциала, найти приближенное значение
Решение: рассмотрим функцию 
,тогда
- есть значение данной функции при х=0,15
Пусть х0=0, х=0,15. Тогда у(0)=1.
Из (2) видно, что Dy=dy, a dy=f /Dx,т.е.
Dy»f /(x)Dx, Dy=f(x+Dx)-f(x).
Отсюда f(x+Dx)»f(x)+f /(x)Dx. В нашем. случае x=0,
x+Dx=0,15; f(0,15)»f(0)+f /(0) 0,15.
Определим
 |
ВАРИАНТЫ.
1. Доказать, что функция f (x) не дифференцируема в точке х.
2. Найти дифференциалы функций:
3. Найти приближенное значение функции:
В-1 B-2
y=x5-2x4+3x3-4x2+6, x=1,001 y=(x-3)2(x-2)3(x-4), x=4,001
B-3 B-4
y=ctgx, x=45010/ y=xln(x-2), x=3,001
B-5 B-6
(33)1/5 lg 10,21
B-7 B-8
arctg 1,05 cos 310
В-9 B-10
cos630 tg460
B-11 B-12
sin320 ctg430
B-13 B-14
sin270 cos590
B-15 B-16
tg430 sin290
B-17 B-18
cos620 tg430
B-19 B-20
sin330 cos570
B-21 B-22
ctg470 
B-23 B-24
B-25
