Вычисление предела функции

При вычислении предела функции необходимо знать следующие

теоремы:

Кроме того, надо пользоваться тем, что для всех основных элементарных функций в любой точке их области определения справедливо равенство:

(в силу непрерывности, Л.р. №7)

Этими простейшими пределами можно пользоваться как формулами:

Более сложные случаи нахождения предела функции: ,[1^¥] рассматриваются далее в отдельности.

Пример 1. Найти предел:

Решение:

Разлагаем знаменатель на множители:

Здесь нет сокращения на нуль, что никогда недопустимо. Согласно определению предела функции аргумент х стремиться к своему предельному значению 2, никогда с ним не совпадая.

Пример 2. Найти предел:

Решение:

Пример 3. Найти предел:

Решение:

(Применяем тригонометрическую формулу так, чтобы использовать первый замечательный предел).

Пример 4. Найти предел:

Решение:

Деля числитель и знаменатель на наивысшую степень х (на х²), находим

Случай, когда при х® а или х®¥ функция f (x) представляет произведение бесконечно малой величины на бесконечно большую , приводится путем преобразования функции к одному из двух рассмотренных случаев, т.е. к или к .

Случай, когда при х® а или х®¥ функция f (x) представляет разность двух положительных бесконечно больших величин , можно привести к случаю или путем преобразования функции к дроби.