Непрерывность и точки разрыва функции

Если ищется предел функции при условии, что аргумент , стремясь к своему предельному значению а, может принимать только такие значения, которые меньше а, то этот предел, если он существует, называется левосторонним (левым) пределом данной функции в точке = а и условно обозначается так:

=

Аналогично можно сформулировать определение правостороннего (правого) предела данной функции, который обозначается так:

=

Теорема. Функция непрерывна при = а тогда и только тогда, когда:

1) функция определена не только в точке , но и в некотором интервале, содержащем эту точку;

2)функция имеет при ® а конечные и равные между собой односторонние пределы;

3)односторонние пределы при ® а совпадают со значением функции в точке а, т.е.

Если для данной функции в данной точке = а хотя бы одно из перечисленных трех условий не выполняются, то функция называется разрывной в точке = а.

Локальные свойства. Локальными называют такие свойства функций, которые определяются поведением функции в сколь угодно малой окрестности точки области определения.

Теорема. Пусть –функция, непрерывная в точке а. Тогда справедливы следующие утверждения:

1⁰ Функция ограничена в некоторой окрестности точки а.

2⁰ Если ,то в некоторой окрестности точки а все значения функции положительны или отрицательны вместе с .

3⁰ Если функция определена в некоторой окрестности точки а и,как и , непрерывна в самой точке а,то функции:

a) ,

b) ,

c) , определены в некоторой окрестности точки а и непрерывны в точке а.

4⁰ Если функция непрерывна в точке b, а функция такова что и непрерывна в точке а, то композиция определена на и также непрерывна в точке а.

Опр.1. Если точка разрыва функции такова, что существуют конечные , но , то называется точкой устранимого разрыва функции .

Опр.2. Разрыв функции в точке = а называется разрывом первого рода, если односторонние пределы слева и справа существуют, но не равны между собой. Если хотя бы один из односторонних пределов не существует, разрыв в этой точке называется разрывом второго рода.

Опр.3. Скачком функции в точке разрыва называется абсолютная величина разности между ее правым и левым предельными значениями.

Пример 1. Функция задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента х. Найти точки разрыва функции, если они существуют.

Решение:

Данная функция определена и непрерывна в интервалах

(-¥,2), (-2,1), (1,+¥),т.к. постоянная и непрерывная функции непрерывны на всей действительной оси. При х=-2 и х=1 меняется аналитическое выражение функции, и только в этих точках функция может иметь разрыв. Определим односторонние пределы в точке х=-2:

Односторонние пределы совпадают. Функция в этой точке непрерывна

Определим односторонние пределы в точке х=1:

Т.к. односторонние пределы функции у=f(x) в точке х=1 не равны между собой, то в этой точке функция имеет разрыв первого рода. В точке х=1 скачок функции имеет значение, равное D=|2-(-3)|=5. График функции показан на рис.1.

рис.1.

Пример 2. Дана функция . Найти точки разрыва функции, если они существуют. Построить график функции.

Решение:

Наша функция является отношение 2-х линейных функций, которое является непрерывным на всей действительной оси. Значит исходная функция непрерывна всюду на действительной оси, кроме (×) x=2.

При х=-2 данная функция не существует; в этой точке функция терпит разрыв. Определим односторонние пределы функции при х®-2 слева и справа:

Таким образом, при х=-2 данная функция имеет разрыв второго рода.

ВАРИАНТЫ.

Дана функция, найти точки разрыва функции и построить график:

В-1

В-2

В-3

В-4

В-5

В-6

В-7

В-8

В-9

В-10

В-11

В-12

В-13

В-14

В-15

В-16

В-17

В-18

В-19

В-20

В-21

В-22

В-23

В-24

В-25