Производные высших порядков, ряд Тейлора

Если функция f:ХàR,xÎR,дифференцируема в "xÎX,то на множестве X возникает функция f ¢:XàR,значение которой в точке xÎX равно производной f ¢ (x).Если же функция f ¢:XàR имеет производную (f ¢)¢:XàR на множестве x,то (f ¢)¢(x) называется второй производной функции f(x) и обозначается f ²(x) или . Если f ²(x) имеет производную (f ²(x))¢,то эта производная называется третьей производной функции f(x) или производной третьего порядка функции f(x) и обозначаются одним из символов f ²¢(x),f⁽³⁾(x),

Производная n -го порядка является производной от производной

(n -1) порядка, т.е.

f⁽ⁿ⁾=(f⁽ⁿ^-1))^/(x)

Производные, начиная со второй, называются производными высших порядков и обозначаются у^//,у^///,у⁽⁴⁾,…у⁽ⁿ⁾,

Производные n-го порядка некоторых элементарных функций:

1. ( ^x)⁽ⁿ⁾= ^xlnⁿx ()

2. (sinx)⁽ⁿ⁾=

3. (x^m)⁽ⁿ⁾=m(m-1)…(m-n+1)x^m-n

4. (e^x)⁽ⁿ⁾=e^x

5. (cosx)⁽ⁿ⁾=

6. (lnx)⁽ⁿ⁾=

Если функции u=j(x) и v=y(x) имеют производные n-го порядка (n- кратно дифференцируемы),

(1)

Пример 1: Вычислить n -ю производную (n ³2) функции y=x²cosx.

Решение: полагая u=cosx и v=x², найдем

u⁽ⁿ⁾=cos(x+nп/2), v^'=2x, v^''=2,v^''''=v⁽⁴⁾=…=0.

Подставляя в формулу (1), получаем

y⁽ⁿ⁾=c⁰_ncos(x+nп/2)x²+c¹_ncos(x+(n-1)п/2)2x+c²_ncos(x+(n-2)п/2)2

Формула (1) называется формулой Лейбница.

Опр. Функция у называется заданной параметрически, если зависимость между у и х задана системой уравнений

,tÎT

Производные этой функции могут быть найдены по формулам:

Пример 2. Найти производные от функции y=y(x), заданной параметрически если x=acost, y=asint

Решение:

Формула Тейлора. Пусть функция f(x) имеет в точке а и некоторой ее окрестности производные порядка n+1. Пусть х-любое значение аргумента из указанной окрестности, х= а. Тогда между точками а и х найдется точка x такая, что справедлива следующая формула:

Частный, простейший вид формулы Тейлора при а =0 принято называть формулой Маклорена: