Нехай задано функцію , яка діє з множини Г в множину :
,
a функція діє з множини Х в Г:
,
то кажуть, що задано складну функцію , яка діє з множини Х в множину (або композиція функцій f і g: ).
Причому функція f – називається зовнішньою, g – внутрішньою функцією.
(новий закон)
Наприклад: , то – складна функція.
Композиція може складатися з більшої кількості функцій.
Функція є композицією n функцій, – внутрішня функція, – проміжні функції, – зовнішня функція.
Наприклад:
– внутрішня, – проміжна, –
зовнішня.
Озн. Нехай задана функція , яка діє з області D в область Е , якщо кожному елементу у з множини Е за певним законом ставиться у відповідність єдиний елемент х з множини D, то кажуть, що на множині Е задана функція обернена до даної функції .
Позн.
– пряма функція
– обернена функція
Але не завжди кожному відповідає єдиний .
Наприклад: .
- двозначна функція
Для того, щоб існувало функція обернена до функції (однозначна) необхідно і досить, щоб функція мала таку властивість: , тобто різним значенням її аргументу відповідали різні значення функції (одномістна). Прикладом такої функції може бути будь-яка монотонна функція, причому характер монотонності зберігається.
|
|
Тому для того, щоб функція мала обернену, необхідно і досить, щоб будь-яка горизонтальна пряма перетинала її графік не більше як в одній точці.
З означення складної й оберненої функції випливають такі рівності
для всіх ,
для всіх .
Зокрема, , якщо , , якщо ,
, якщо , , .
Графік оберненої функції співпадає з графіком прямої функції . Якщо ж для оберненої функції використати традиційне позначення незалежної і залежної змінних, тобто замінити х на у і у на х, то графіком функції буде множина точок координат площини, яка симетрична до графіка функції відносно прямої y=x (оскільки точки (х;у) і (х;у) координатної площини хОу симетричні відносно прямої y=x).
Якщо графік функції симетричний відносно прямої у=х, то вона обернена сама до себе.
Наприклад: .
Таким чином, якщо функція і – взаємно обернені і монотонно зростають на області визначення, то точки перетину їх графіків (якщо вони існують) лежать на прямій у=х.
Для знаходження оберненої функції потрібно розв’язати рівняння , подати його розв’язок у вигляді і при необхідності перейти до звичайних позначень .
Наприклад: , , , ,
– область визначень оберненої функції
– область значень оберненої функції
, , – обернена функція,
– обернена функція в традиційних позначеннях.
Графіки функцій і симетричні відносно прямої у=х.
Вправи
1. Які з даних функцій періодичні? Знайти для періодичних функцій найменший додатній період:
|
|
1)
Функція періодична. .
2)
Функція не є періодичною.
2. Дослідити на парність і непарність функції:
1)
;
Отже, функція непарна.
2)
;
. Отже, функція непарна.
3)
. . Отже, функція парна.
4) . .
. Отже, функція парна.
5)
Область визначення має бути симетричною відносно нуля, щоб функція могла бути парною або непарною. , , тому D несиметрична відносно осі Оу або точки 0, тому функція не є ні парною, ні непарною.
6)
. . Отже, функція парна.
7)
. Отже, функція непарна.
8)
. .
Отже, функція непарна.
Функція у=f(х) називається неперервною в точці х0є(а;b), якщо існує границя функції в цій точці, яка дорівнює значенню функції в точці х0.
Отже, функція у=f(х) в точці х0 буде неперервною тоді й тільки тоді, коли виконуються такі умови:
1. функція у=f(х) визначена в точці х0, тобто існує число f(х0);
2. існує границя функції в точці х0;
3. границя функції дорівнює значенню функції в цій точці, тобто
.
Якщо функція у=f(х) є неперервною в кожній точці деякого інтервалу (а;b), то вона називається неперервною в цьому інтервалі.