Властивості визначників

1.Визначник матриці, отриманої з даної транспонуванням, дорівнює визначнику цієї матриці.

Доведемо властивості для визначників другого порядку.

Бачимо, що = .

Приклад.

.

2.Якщо всі елементи деякого рядка(стовпця) дорівнюють нулю, то сам визначник дорівнює нулю.

Доведення:

3. Якщо всі елементи деякого рядка(стовпця) визначника мають спільний множник, то його можна винести за знак визначника.

.

Приклад.

4. Величина визначника не змінюється, якщо до елементів одного рядка (стовпця) додати відповідні елементи другого рядка (стовпця), помножені на одне й те саме число.

Доведення:

Приклад.

Обчислимо

Обчислимо

5. Якщо поміняти місцями два рядки (стовпці) визначника, то знак визначника зміниться на протилежний.

Приклад.

Обчислимо .

Тепер обчислимо

6. Якщо визначник має два пропорційних рядка (стовпця), то визначник дорівнює нулю.

Доведення.

Означення. Якщо у визначнику n-го порядку викреслити один рядок і один стовпчик, на перетині яких стоїть деякий елемент , то одержимо визначник порядку, який називається мінором визначника, відповідного елемента . Позначається .

Означення. Алгебраїчним доповненням елемента є число

Приклад.

Нехай дано визначник третього порядку. Знайти .

.

7. Визначник матриці дорівнює сумі добутків елементів деякого рядка (стовпця) на алгебраїчні доповнення цих елементів.

Доведення(для визначника 3-го порядку)

Приклад.

Обчислити .

Розв’язання:

8. Визначник, у якого кожний елемент деякого рядка (стовпця) є сумою двох доданків, дорівнює сумі визначників, у першому з яких у вказаному рядку (стовпці) стоять перші доданки, а у другому – другі доданки; всі інші рядки(стовпці) у обох визначників однакові.

Доведення:

= .

Зауваження.

Всі властивості визначників другого і третього порядку справедливі і для визначників n-го порядку.

Приклад.

Обчислити визначник четвертого порядку.

=(9+8+8-1-12-48)-2(6+6+32-4-8-36)+3(24+24+3-16-4-27)-4(16+12+12-6-2-54)=160.

Обернена матриця.

Означення. Квадратна матриця називається невиродженою, якщо її визначник відмінний від нуля.

Означення. Матриця називається оберненою до матриці , якщо справджується рівність:

, де – одинична матриця.

Обернена матриця існує тільки для невиродженої квадратної матриці.

Означення. Союзною до матриці А називається матриця С вигляду:

,

де –алгебраїчні доповнення елементів матриці А.

План отримання оберненої матриці:

а) знаходимо визначник матриці А;

б) якщо detA≠0, то знаходимо алгебраїчні доповнення для елементів матриці А;

в) записуємо союзну матрицю С;

г) знаходимо обернену матрицю ;

д) робимо перевірку, тобто .

Приклад. Знайти матрицю, обернену до матриці А.

Розв’язання.

а) знаходимо визначник матриці А:

Визначник відмінний від нуля, таким чином матриця А є невиродженою, тому існує обернена матриця.

б) знаходимо союзну матрицю, для цього шукаємо алгебраїчні доповнення елементів матриці А.

.

Маємо:

.

в) знаходимо обернену матрицю

.

г) зробимо перевірку, тобто :