Метод Гаусса розв’язування системи лінійних рівнянь

Розглянемо довільну систему m лінійних рівнянь з n невідомими (1). Виберемо ведуче рівняння системи. Нехай це буде перше рівняння. Виберемо ведучий елемент .

Розділимо кожний член ведучого рівняння на . Тоді система матиме вигляд:

(2),

де .

Виключимо із 2, 3,, m рівнянь системи (2) . Для цього перше рівняння помножимо на і додамо до другого рівняння, потім перше рівняння системи помножимо на і додамо до третього рівняння. І так далі.

Після цього система набирає вигляду:

(3),

де

.

Це перший крок.

Запишемо без змін перше рівняння системи (3) і виберемо друге рівняння за основне, а твірним елементом нехай буде .

Розділимо кожний член основного рівняння на .

Тоді система (3) матиме вигляд:

(4),

де , .

Виключимо з 3, 4,…, m рівнянь системи (4) змінну аналогічно першому кроку.

(5),

де

.

Аналогічно попередньому з рівнянь послідовно виключаються змінні .

Виконана операція називається прямим ходом методу Гаусса.

Після цього використовується зворотній хід.

Із останнього рівняння визначається .

Після підстановки у m-1 рівняння системи визначимо .

Виконуючи аналогічні операції, знайдемо розв’язок системи.

Приклад.Розв’язати систему рівнянь методом Гаусса.

Розв’язання:

.