Определения. Геометрический и физический смысл

Приращением функции у=f(x) в интервале Dх называется разность D у=f(х+Dх)-f(x). Если D у >0, то функция на интервале возрастает; при D у <0 - убывает; при D у =0 – не изменяется. Предел отношения приращения функции D у к приращению аргумента D х при стремлении D х к нулю называется производной функции:

Другие, эквивалентные, обозначения:

Геометрический смысл производной тесно связан с понятием касательной.

Проведем через точку М секущую ММ₁. Если точку М₁ устремить к М, т.е. уменьшать

х до нуля, то в момент слияния точек М и М₁ угол

перейдет в угол

: tg

;

Следовательно, производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

С физической точки зрения производная - скорость изменения функции в данной точке.

Если функция имеет единственную производную в точке, она называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках интервала a , называется дифференцируемой в данном интервале.