Определенный интеграл

Определения

Пусть – функция, непрерывная на отрезке , а – ее первообразная, т.е. . Тогда определенным интегралом функции называется приращение ее первообразной:

.

Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница. Здесь а и b – соответственно нижний и верхний пределы интегрирования, причем .

Вычисление определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница осуществляется в два шага: на первом шаге, используя технику нахождения неопределенного интеграла, находят первообразную для подынтегральной функции ; на втором – применяется собственно формула Ньютона-Лейбница, т.е. вычисляется приращение первообразной, равное искомому интегралу. Легко показать, что значение произвольной постоянной С не влияет на результат, поэтому при вычислении первообразной удобно сразу принять С=0.

Пример: .

Геометрический смысл определенного интеграла состоит в том, что он численно равен площади криволинейной трапеции, образованной кривой , осью оХ и линиями x=a и x=b, т.е.

Отметим формальную разницу между неопределенным и определенным интегралами: неопределенный интеграл – функция, определенный интеграл – число.