2015-10-22
391
Предположим, что существует корень на отрезке 
и знаки 
и 
различны (функция 
меняет знак при переходе через корень 
).
Положим 
и 
и вычислим значения функции в левом конце отрезка, 
, и в его середине 
: 
. Сравним знаки чисел и . Если эти знаки различны, то корень лежит в интервале 
; если же одинаковы, то тогда различны знаки и 
, и корень лежит в интервале 
. (Возможен ещё случай 
; тогда корень 
уже найден.) В обоих случаях смены знака корень оказывается отделён на отрезке 
либо 
, длина которого ровно в два раза меньше длины исходного отрезка 
. Обозначим этот отрезок половинной длины через 
(то есть положим 
в случае, когда и разных знаков, и 
в случае, когда и одного знака).
Далее повторим процесс для отрезка : снова отыщем его середину 
, найдём значение функции 
и сравним знак этого числа со знаком 
; если знаки разные, то корень отделён на 
, если одинаковые, то на 
(или же оказывается, что 
; тогда корень найден). Длина отрезка, на котором отделён корень, уменьшилась ещё в два раза.
Рис.2.1. Последовательное деление отрезка пополам и приближение к корню
Поступая тем же образом и далее, получаем, что после 
делений длина отрезка, на котором лежит корень, сокращается в 
раз и становится равной 
(если корень не был точно определён на каком-то предыдущем этапе, то есть не совпал с 
при некотором 
). Пусть 
– заданная точность, с которой требуется отыскать корень. Процесс деления отрезков следует остановить, как только станет верным неравенство 
. Очевидно, что если при этом положить в качестве корня
,
то расстояние от корня , лежащего где-то в интервале 
, до середины этого интервала 
будет не больше , то есть приближённое равенство 
будет выполнено с нужной точностью.
