Идея метода хорд состоит в том, что по двум точкам и построить прямую (то есть хорду, соединяющую две точки графика ) и взять в качестве следующего приближения абсциссу точки пересечения этой прямой с осью . Иными словами, приближённо заменить на этом шаге функцию её линейной интерполяцией, найденной по двум значениям и . (Линейной интерполяцией функции назовём такую линейную функцию , значения которой совпадают со значениями в двух фиксированных точках, в данном случае – в точках и .)
Рис 2.2. Построение последовательного приближения по методу хорд
Итак, очередное последовательное приближение будет зависеть от двух предыдущих: . Найдём выражение для функции .
Интерполяционную линейную функцию будем искать как функцию с угловым коэффициентом, равным разностному отношению
,
построенному для отрезка между и , график которой проходит через точку :
Решая уравнение , находим
то есть
Заметим, что величина может рассматриваться как разностное приближение для производной в точке . Тем самым полученная формула – это разностный аналог итерационной формулы метода Ньютона.
|
|
Вычисления ведутся непосредственно по данной формуле при , начиная с двух приближений и , взятых, по возможности, поближе к корню . При этом не предполагается, что лежит между и (и что значения функции в точках и , имеют разные знаки). При этом не гарантируется, что корень попадёт на отрезок между и на каком-либо следующем шаге (хотя это и не исключено). В таком случае затруднительно дать оценку погрешности, с которой приближает истинное значение корня , и поэтому довольствуются таким эмпирическим правилом: вычисления прекращают, когда будет выполнено неравенство , где – желаемая точность нахождения корня. При этом полагают приближённое значение корня равным .
Метод секущих
Идея метода секущих состоит в том, выбирают любую постоянную , знак которой совпадает со знаком производной в окрестности (и, в частности, на отрезке, соединяющем и ). Постоянная не зависит также и от номера шага . Тогда формула итераций оказывается очень проста:
и на каждой итерации нужно один раз вычислить значение функции .
Выясним смысл этой формулы, а также смысл условия о совпадении знаков и . Рассмотрим прямую, проходящую через точку на графике с угловым коэффициентом . Тогда уравнением этой прямой будет
Найдём точку пересечения этой прямой с осью из уравнения
откуда . Следовательно, эта прямая пересекает ось как раз в точке следующего приближения. Тем самым получаем следующую геометрическую интерпретацию последовательных приближений. Начиная с точки , через соответствующие точки графика проводятся секущие с угловым коэффициентом того же знака, что производная . (Заметим, что, во-первых, значение производной вычислять не обязательно, достаточно лишь знать, убывает функция или возрастает; во-вторых, что прямые, проводимые при разных , имеют один и тот же угловой коэффициент и, следовательно, параллельны друг другу.) В качестве следующего приближения к корню берётся точка пересечения построенной прямой с осью .
|
|
Рис.2.3 Последовательные итерации метода секущих
На чертеже изображены итерации. Мы видим, что последовательные точки приближаются к корню, оставаясь всё время с одной стороны от него.
Метод Ньютона
Рассмотрим эффективный метод решения нелинейных уравнений, носящий имя Ньютона. Вначале приведем некоторые наводящие рассуждения. Пусть функция y = F(x), корень которой ищется, имеет производные до 2-го порядка в окрестности корня - точки . Пусть уже найдено приближение номера n к корню (n-ая итерация) и требуется найти приближение номера n+1. По формуле Тейлора имеем
F(xn+1) = F(xn) + F’(xn) × (xn+1 – xn) + O(xn+1 – xn)2.
Пренебрежем остаточным членом порядка O(xn+1 – xn)2 в правой части формулы и, будем считать, что xn+1» , т.е. приближение номера n+1 найдено столь точно, что F(xn+1)» 0.
Тогда имеем приближенное равенство
0» F(xn) + F'(xn) (xn+1 – xn).
Выражая отсюда xn+1 при условии F'(xn) ¹ 0, и, переходя от приближенного равенства к точному, получим
Конечно, данные рассуждения не претендуют на роль строгого вывода и не могут служить обоснованием метода Ньютона. Перейдем к обоснованию метода Ньютона. Будем рассматривать лишь случай поиска вещественных корней.
Предположим, что уравнение
F(x) = 0 | (2.1) |
имеет простой вещественный корень x*, т.е.
F(x*) = 0,
Будем предполагать, что F(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки x*, т.е. для всех х принадлежащих некоторому интервалу (x* - r1, x* + r1), где r1 > 0, причем F"(x) непрерывна на отрезке [x* - r, x* + r], 0 < r £ r1.
Исследуем сходимость метода Ньютона
(2.2) |
Теорема 1. Пусть x* - простой вещественный корень уравнения (4.1) и пусть F'(x) ¹ 0 в окрестности точки. x*
= {x:½x - x*½ < r}.
Пусть, что F"(x) непрерывна на отрезке [x*-r, x*+r] Ì Ì , причем
(2.3) |
Тогда, если и
(2.4) |
то метод Ньютона (2.2) сходится, и для погрешности справедлива оценка
(2.5) |
Замечания.
Метод Ньютона имеет квадратичную сходимость, т.е. он сходится быстрее метода простой итерации, который имеет линейную сходимость. Однако, метод Ньютона требует задания достаточно близкого к корню x* начального приближения, удовлетворяющего неравенству (2.4) при соблюдении соотношений (2.3).