Задачі для самостійного розв’язання

20 21 22 23 24 25 26

1. Знайти координати вершин, фокусів, півосі і ексцентриситет еліпсів:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

2. Скласти канонічне рівняння еліпса, фокуси якого на осі ОХ, якщо: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

3. Які з точок А(13, 0), В(5, ), С(0, 5), D(, 4) лежать на еліпсі ?

4. Скласти канонічне рівняння еліпса, фокуси якого на осі ОХ, якщо він проходить через точки , .

5. На еліпсі знайти точки з фокальним радіусом .

Вказівка. Використати формули для фокальних радіусів

6. Знайти центр, півосі, півфокусну відстань і ексцентриситет для кожного з еліпсів: 1) ; 2) ; 3) . Записати канонічні рівняння та побудувати графіки.

7. В еліпс вписано прямокутник, дві протилежні сторони якого проходять через фокуси. Обчислити площу цього прямокутника.

8. Знайти довжину відрізка прямої , який міститься у середині еліпса .

9. Скласти рівняння спільної хорди еліпса і кола

10. Знайти довжину хорди, яка проходить через фокус еліпса і перпендикулярна великій осі.

Відповіді:

1. 1) ;

2) ;

3) ;

4) .

2. 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

3. Всі. 4. . 5. , .

6. 1) ;

2) ;

3) .

7. . 8. 10. 9. . 10. 9.

Гіпербола

Означення. Гіперболою називається множина точок площини, різниця відстаней яких від двох заданих точок, фокусів, є величина стала і дорівнює .

По аналогії з еліпсом фокуси розміщуємо в точках ,

(див. рис. 25-4).

Рис. 25-4.

Оскільки, як видно з рисунка, можуть бути випадки і , то згідно означення .

Відомо, що в трикутнику різниця двох сторін менша третьої сторони, тому, наприклад, з маємо

Отже, для гіперболи .

Далі запишемо значення виразів і через координати точок

Піднесемо до квадрата обидві частини і після подальших перетворень знайдемо

Пропонуємо завершити самостійно

Гіпербола симетрична відносно координатних осей, тому, як і для еліпса, досить побудувати її графік в першій чверті, де . Область визначення для першої чверті .

При маємо одну із вершин гіперболи . Друга вершина . Якщо , то із (40) , – дійсних коренів немає. Говорять, що і – уявні вершини гіперболи. Із співвідношення випливає, що при досить великих значеннях має місце наближена рівність . Тому пряма є лінією, відстань між якою і відповідною точкою гіперболи прямує до нуля при .

Пряма називається асимптотою гіперболи. Згідно з симетрією існує ще одна асимптота .

Для побудови гіперболи необхідно відкласти на координатних осях відрізки довжиною на по обидва боки від точки і аналогічно відкласти по .

Рис. 26.

Після цього побудувати прямокутник зі сторонами паралельними координатним осям (див. рис. 26). Діагоналі прямокутника є асимптотами гіперболи. Через вершину в першій чверті проводимо вітку гіперболи, яка асимптотично наближається до прямої

. Інші вітки будуємо симетрично відносно і .

Ексцентриситет гіперболи , бо . Якщо величину зафіксувати, а збільшувати, то при цьому збільшується , тому гіперболи будуть відхилятись від , гіпербола буде розпрямлятись. При зменшені буде зменшуватись , вітки гіперболи будуть наближатись до . У випадку, коли , асимптотами будуть бісектриси координатних кутів,