1. Знайти координати вершин, фокусів, півосі і ексцентриситет еліпсів:
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
2. Скласти канонічне рівняння еліпса, фокуси якого на осі ОХ, якщо: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
3. Які з точок А(13, 0), В(5, ), С(0, 5), D(, 4) лежать на еліпсі ?
4. Скласти канонічне рівняння еліпса, фокуси якого на осі ОХ, якщо він проходить через точки , .
5. На еліпсі знайти точки з фокальним радіусом .
Вказівка. Використати формули для фокальних радіусів
6. Знайти центр, півосі, півфокусну відстань і ексцентриситет для кожного з еліпсів: 1) ; 2) ; 3) . Записати канонічні рівняння та побудувати графіки.
7. В еліпс вписано прямокутник, дві протилежні сторони якого проходять через фокуси. Обчислити площу цього прямокутника.
8. Знайти довжину відрізка прямої , який міститься у середині еліпса .
9. Скласти рівняння спільної хорди еліпса і кола
10. Знайти довжину хорди, яка проходить через фокус еліпса і перпендикулярна великій осі.
Відповіді:
1. 1) ;
2) ;
3) ;
4) .
2. 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
3. Всі. 4. . 5. , .
6. 1) ;
2) ;
3) .
7. . 8. 10. 9. . 10. 9.
Гіпербола
|
|
Означення. Гіперболою називається множина точок площини, різниця відстаней яких від двох заданих точок, фокусів, є величина стала і дорівнює .
По аналогії з еліпсом фокуси розміщуємо в точках ,
(див. рис. 25-4).
Рис. 25-4.
Оскільки, як видно з рисунка, можуть бути випадки і , то згідно означення .
Відомо, що в трикутнику різниця двох сторін менша третьої сторони, тому, наприклад, з маємо
Отже, для гіперболи .
Далі запишемо значення виразів і через координати точок
Піднесемо до квадрата обидві частини і після подальших перетворень знайдемо
Пропонуємо завершити самостійно
Гіпербола симетрична відносно координатних осей, тому, як і для еліпса, досить побудувати її графік в першій чверті, де . Область визначення для першої чверті .
При маємо одну із вершин гіперболи . Друга вершина . Якщо , то із (40) , – дійсних коренів немає. Говорять, що і – уявні вершини гіперболи. Із співвідношення випливає, що при досить великих значеннях має місце наближена рівність . Тому пряма є лінією, відстань між якою і відповідною точкою гіперболи прямує до нуля при .
Пряма називається асимптотою гіперболи. Згідно з симетрією існує ще одна асимптота .
Для побудови гіперболи необхідно відкласти на координатних осях відрізки довжиною на по обидва боки від точки і аналогічно відкласти по .
Рис. 26.
Після цього побудувати прямокутник зі сторонами паралельними координатним осям (див. рис. 26). Діагоналі прямокутника є асимптотами гіперболи. Через вершину в першій чверті проводимо вітку гіперболи, яка асимптотично наближається до прямої
. Інші вітки будуємо симетрично відносно і .
|
|
Ексцентриситет гіперболи , бо . Якщо величину зафіксувати, а збільшувати, то при цьому збільшується , тому гіперболи будуть відхилятись від , гіпербола буде розпрямлятись. При зменшені буде зменшуватись , вітки гіперболи будуть наближатись до . У випадку, коли , асимптотами будуть бісектриси координатних кутів,
– рівнобічна гіпербола.
Приклади
Побудувати гіперболи
1. 2. . (Див. рис. 27).
Рис.27.
Перша з гіпербол перетимає вісь , друга – вісь Oy. Кожна з наведених гіпербол по відношенню до іншої називається спряжною.
Рівняння спряжених гіпербол відрізняються протилежними знаками перед змінними в канонічних рівняннях.
Задача 1. Знайти осі, вершини, фокуси, ексцентриситет і рівняння асимптот гіперболи
.
Побудувати гіперболу та її асимптоти.
Розв’язання. Зведемо рівняння гіперболи до канонічного вигляду .
Порівнюючи дане рівняння з канонічним (див. рівняння (40)) знаходимо , , . Вершини , фокуси і . Ексцентриситет ; асимптоти . Будуємо гіперболу (див. рис. 27-1)