Задачі для самостійного розв’язання

1. Знайти координати вершин, півосі, півфокусну відстань, ексцентриситет і рівняння асимптот гіпербол, побудовати їх графіки.

1) , 2) , 3) .

2. Скласти канонічне рівняння гіперболи, фокуси якої розміщені на осі ОХ, якщо

1) а=5, b=3;

2) і 2b=8;

3) 2b=6 і ;

4) рівняння асимптот і .

3. Скласти канонічне рівняння гіперболи, дійсна вісь якої лежить на осі ОХ, якщо гіпербола проходить через точки і .

4. Записати рівняння гіперболи, дійсна вісь якої дорівнює 6, і відстань фокусами дорівнює 10, записати рівняння спряженої гіперболи. Побудувати їх графіки.

5. Знайти центр, півосі, півфокусну відстань, ексцентриситет і канонічне рівняння гіпербол:

1) ;

2) ;

3) . Побудувати ці гіперболи.

Вказівка: необхідно виділити повні квадрати змінних і знайти новий початок координат, що відповідатиме паралельному переносу системи координат в новий центр (див. розв’язану аналогічну задачу 4 в попередньому параграфі для еліпса).

6. Знайти точки перетину гіперболи з прямою .

7. Відомо, що гіпербола проходить через фокуси еліпса , а її фокуси знаходяться у вершинах еліпса. Скласти рівняння гіперболи.

8. Ексцентриситет гіперболи, яка має спільні фокуси з еліпсом , дорівнює 1,2. скласти рівняння цієї гіперболи.

9. Знайти площу прямокутника, вершини якого містяться в точках перетину гіперболи і кола .

10. Гіперболи задані рівняннями і . Знайти кут між їхніми асимптотами, які розміщені в першій чверті.

Відповіді: 1. 1) ; 2) ;

3) .

2. 1) ; 2) ; 3) ;

4) . 3. . 4. , . 5. 1) ;

2) ;

3) .

6. , . 7. . 8. .

9. 112. 10. .

Парабола

Означення. Параболою називається множина точок площини, які рівновіддалені від заданої точки, що називається фокусом і заданої прямої, що називається директрисою.

Для отримання канонічного рівняння параболи розмістимо директрису перпендикулярно осі , а фокус на осі так, щоб початок координат містився на однаковій відстані від них (див. рис. 28). Позначимо через відстань від фокуса до директриси, тоді фокус має координати , . Для довільної точки параболи відстань , а відстань до директриси . За означенням . З рис. 28 бачимо, що , а , тому

Рис. 28.

– канонічне рівняння параболи.

Парабола проходить через точку , яка називається її вершиною. Якщо точка належить параболі, то і теж належить параболі, тому що із

Отже, парабола симетрична відносно осі , її графік достатньо побудувати в першій чверті, де із (42) випливає, що

При ця функція визначена для . При зростанні змінна теж зростає. Графік зображено на рис. 29.

Рис. 29,а.

Рівняння директриси параболи .

Парабола має “оптичну” властивість: якщо у фокусі параболи помістити джерело світла, то відбиті від параболи промені будуть паралельними осі . Цю властивість враховують при виготовленні прожекторів, дзеркальних телескопів, теле- і радіоантен.

При додатному р рівняння

описує параболу симетричну відносно ОХ з вершиною в точці , вітки якої напрямлені вліво (див. рис. 29,б)

Аналогічно викладеному, рівняння і описують параболи з вершиною в точці симетричні відносно ОУ, вітки яких напрямлені відповідно вверх і вниз (див. рис. 29, в і г). Якщо, наприклад, рівняння розв’язати відносно у

і позначити , то отримаємо відоме із шкільного курсу рівняння параболи . Тепер її фокусна відстань .

Задача 1. Знайти координати фокуса і скласти рівняння директриси параболи .

Розв’язання. Порівнюючи канонічне рівняння і дане , отримуємо , тоді . Оскільки рівняння директриси , то в даному випадку .

Задача 2. Скласти канонічне рівняння параболи а) з фокусом в точці ; б) з фокусом в точці .

Розв’язання. а) Оскільки фокус на додатній півосі ОХ, то парабола симетрична відносно ОХ з вершиною в точці і , тому і згідно формули (42)

б) Фокус лежить на від’ємній півосі ОУ з вершиною в точці , вітки напрямлені вниз, канонічне рівняння слід шукати у вигляді . Фокусна відстань параболи , і рівняння запишеться

Задача 3. Показати шляхом виділення повного квадрата, що рівняння

є рівнянням параболи. Звести його до канонічного вигляду. Знайти вершину, фокус, вісь і директрису цієї параболи.

Розв’язання. Виділимо відносно змінної х повний квадрат

Позначимо , . Тоді внаслідок паралельного перенесення координатних осей в новий початок, тобто в точку , отримаємо канонічне рівняння параболи

Вітки цієї параболи напрямлені вниз симетрично відносно осі , - фокусна відстань. В новій системі координат фокус знаходиться в точці , рівняння директриси в новій системі .