Формула добування коренів

Формула добування коренів го степеня з числа

(1.4)

де символ означає корінь арифметичний з дійсного числа .

Таким чином, при має точно значень.

Приклад. Знайти всі значення .

Розв’язання. Запишемо число 8 в тригонометричній формі:

Застосовуємо формулу (1.4) при де

Одержуємо три значення кореня:

Відповідь:

Приклади для самостійного розв’язання

Знайти всі значення коренів: 1. 2. 3. .

Відповіді. 1. , де k= 0, 1, 2. При k= 0: ;

k= 1: ;

k= 2: .

2.

= , де k= 0, 1, 2, 3.

При k= 0: ;

k= 1: ;

k= 2: ;

k= 3: .

3. ,

де k= 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Формула Ейлера

Формула Ейлера має вигляд:

, (1.5)

де будь-яке дійсне число.

Зміст цієї рівності в тому, що вона визначає експоненту (за основою ) з чисто уявним показником, точніше, права частина в (1.5) просто позначена через , але це виправдано тим, що введений таким чином символ буде володіти властивостями експоненти в дійсній області.

За допомогою формул §§4.14,4.15,4.3 (приклад 3) безпосередньо перевіряються слідуючі властивості:

( ціле); .

Приклад. Обчислити .

Розв’язання.

4.20. Експонента e^z

Нехай . Покладемо . Ця рівність є означенням експоненти з будь-яким показником.

Основні властивості:

( ціле);

Для доведення використовуються властивості експоненти з дійсними і чисто уявними показниками (див.§1.17).

Приклад 1. Знайти .

Розв’язання. Якщо то

Відповідь:

Приклад 2. Обчислити .

Розв’язання.

Приклад 3. Показати, що якщо комплексне число, то

Розв’язання. Нехай Очевидно, що

Залишилось зауважити, що границя змінної величини дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли границя її модуля дорівнює нулю.