Расстояние между двумя когерентными источниками. Примеры решения задач

1. Расстояние между двумя когерентными источниками d =0,9 мм. Источники, испускающие монохроматический свет с длиной волны λ =640 нм, расположены на расстоянии L =3,5 м от экрана. Определить число светлых полос, располагающихся на 1 см длины экрана.

Дано: d=9 м, λ=640 нм=64 м, L=3,5 м, x= м.

Найти: k/x.

Решение: В точке О на экране (рис. 9) будет максимальная освещенность: точка О равноудалена от обоих источников и и поэтому разность хода волн O и О равна нулю. В произвольной точке экрана максимум освещенности будет наблюдаться, если оптическая разность хода когерентных волн равна целому числу длин волн: , (1) где , — оптические пути интерферирующих волн; λ — длина волны падающего света; k — номер светлой полосы (центральная светлая полоса принята за нулевую).

Оптическая разность хода волн , где х —расстояние

от центральной светлой до k -й светлой полосы. Учитывая выражение (1), получим

(2)

Из выражения (2) определяем искомую величину k/x — число светлых интерференционных полос на 1 см длины:

Подставляя в это выражение числовые значения, получим

Ответ: k/х =

2. В просветленной оптике для устранения отражения света на поверхность линзы наносится тонкая пленка вещества с показателем преломления 1,26, меньшим, чем у стекла. При какой толщине пленки отражение света от линзы не будет наблюдаться? Длина волны падающего света 0,55 мкм, угол падения З0°.

Дано: λ=0,55 мкм = 0,55 м; i = 30°, n = 1,26.

Найти: d.

Решение: Свет, падая на систему пленка—стекло под углом i, отражается как от верхней /, так и от нижней // поверхности пленки (рис. 10; - показатели преломления соответственно воздуха и стекла). Лучи и когерентны, так как образованы из одного луча S. Результат интерференции этих лучей зависит от оптической разности хода. Лучи отражаются от среды с большим показателем преломления, поэтому как на верхней, так и на нижней поверхности пленки происходит потеря полуволны

и, следовательно, оптическая разность хода волн равна

(1)

Условие минимума освещенности при интерференции (условие минимумов) имеет вид

(2)

где k =1, 2, 3,... — порядок интерференционного минимума. Из (1) и (2) следует

откуда

Полагая k =1, 2, 3,..., получим ряд возможных значений толщины пленки:

;

Ответ: d 1==0,35 мкм; d 2=0,59 мкм и т. д.

3. На дифракционную решетку Д нормально падает монохроматический свет с длиной волны 0,65 мкм.. На экране Э, расположенном параллельно решетке и отстоящем от нее на расстояние 0,5 м, наблюдается дифракционная картина (рис. 11). Расстояние между. дифракционными максимумами первого порядка равно 10 см. Определить постоянную дифракционной решетки и общее число главных максимумов, получаемых с помощью этой решетки.

Дано: λ=0,65 м, L =0,5 м, l =0,1 м, k =1.

Найти: с, n.

Решение: Запишем условие главных максимумов дифракционной решетки: c sinφ= kλ, (1) где с —постоянная дифракционной решетки; φ — угол отклонения лучей от нормального направления распространения света; k

— порядок главного дифракционного максимума; λ — длина волны

падающего на решетку монохроматического света.

По условию задачи, k =l. Учитывая, что l /2<< L (см. рис. 11), имеем sinφ tgφ >= l /(2L). (2). Подставляя (2) в (1), получим

или (3)

Подставляя в (3) числовые значения величин, находим

Для определения общего числа главных максимумов, даваемых дифракционной решеткой, исходим из условия, что максимальный угол отклонения лучей от нормального направления распространения не может превышать 90°, т. е. sin 90°= 1, тогда формула (1) примет вид . Производим вычисления

Общее число максимумов равно , т. е. влево и вправо от центрального максимума будут наблюдаться по максимумов:

n = 2·10+ 1 =21.

Ответ: с =6,5 м, n =21.

4. Определить расстояние между атомными плоскостями в кристалле каменной соли, если дифракционный максимум первого порядка наблюдается при падении рентгеновских лучей с длиной волны 0,147 нм под углом 15° 12' к поверхности кристалла.

Дано: λ =0,147 нм = 1,47 м, ? =15°12', k =l.

Найти: d.

Решение: Дифракция рентгеновских лучей на кристаллах — это результат интерференции рентгеновского излучения, зеркально отражающегося от системы параллельных плоскостей, которые проходят через узлы — атомы (например, А) кристаллической решетки. Эти плоскости называют атомными (рис. 12). Отражение наблюдается лишь в тех направлениях,, соответствующих дифракционным максимумам, которым удовлетворяет соотношение

? = | ВС | + |BD | = 2d sin ? или 2d sin ? = kλ, (1)

где k =1, 2, 3,... — порядок дифракционного максимума; ? — угол скольжения, т. е. угол между падающим лучом и плоскостью кристалла; d — расстояние между соседними плоскостями, называемое межплоскостным. Исходя из условия (1) и учитывая, что k =l, имеем

Ответ: d = 0,282 нм.

5. Луч света, проходя слой льда, падает на алмазную пластинку, частично отражается, частично преломляется. Определить, каким должен быть угол падения, чтобы отраженный луч был максимально поляризован. Найти степень поляризации отраженного и преломленного света для этого угла падения с помощью формул Френеля.

Дано: = 1,31, = 2,42.

Найти: , , .

Решение: Отраженный свет максимально поляризован при угле падения i = , удовлетворяющем закону Брюстера: tg = , (1) где = / — относительный показатель преломления отражающей среды. Если i = , то отраженный и преломленный лучи взаимно перпендикулярны (рис. 13). Проходящий свет поляризован лишь частично. Из выражения (1) находим

С помощью формул Френеля определяем степень поляризации отраженного луча:

Здесь

, (2)

---- интенсивности света, распространяющегося в направлениях, перпендикулярном и параллельном плоскости падения; — интенсивность естественного света; i — угол падения; r — угол преломления.

Еcли свет падает на диэлектрик под углом полной поляризации (i = ), то, учитывая, что +r=90°, для отраженного луча из (2) получим , так как sin( +r) =sin 90°=1, tg 90°

Степень поляризации отраженного луча

т. е. луч максимально поляризован.

Найдем интенсивности света после преломления в направлениях, перпендикулярном и параллельном плоскости преломления:

Степень поляризации преломленного луча

Ответ: = 61,°5, = 100 %, =17 %.

6. Определить, во сколько раз уменьшится интенсивность естественного света, прошедшего через два николя, плоскости поляризации которых составляют угол 45°. Каждый николь поглощает 8 % света, падающего на него (рис. 14).

Дано: а = 45°, £ = 0,08.

Найти: /

Решение: В результате двойного лучепреломления естественный луч света, попадая в призму П — поляризатор, раздваивается на обыкновенный и необыкновенный лучи. Оба луча поляризованы, но во взаимно перпендикулярных плоскостях. Обыкновенный луч, подчиняясь закону преломления, преломится и, подойдя к слою канадского бальзама в Николе, испытывает полное отражение и поглотится зачерненной боковой гранью призмы. Необыкновенный луч проходит через призму без отклонения, интенсивность его уменьшается из-за поглощения света призмой на величину k .

Интенсивность света, прошедшего через поляризатор, равна =0,5(1—k) , (1) где k =0,08 (т.е. 8 %)—коэффициент поглощения света в призме; — интенсивность естественного света, падающего на поляризатор.

Поляризованный свет, войдя во второй николь — анализатор А, опять поглощается и интенсивность его уменьшается на величину k кроме того, интенсивность поляризованного света из-за несовпадения плоскостей поляризации поляризатора и анализатора согласно закону Малюса:

(2)

где α — угол между плоскостями поляризации поляризатора и анализатора; k — коэффициент поглощения; — интенсивность поляризованного света, падающего на анализатор; — интенсивность поляризованного света, прошедшего через анализатор. Подставляя выражение (1) в (2), имеем

(3)

Из соотношения (3) следует

, а

Подставляя числовые значения, получим

Ответ: / =5.

7. Показатель преломления сероуглерода для света с длинами воли 509, 534 и 589 нм равен соответственно 1,647; 1,640 и 1,630. Вычислить фазовую и групповую скорости света вблизи длины волны 534 нм.

Решение: Групповая скорость u связана с фазовой скоростью υ света в среде соотношением

(1)

Учитывая, что υ=c/n, из (1) получаем

Для средней дисперсии вещества имеем

(2)

где / — средняя дисперсия показателя преломления среды. Для λ = 534 нм и n = 1,640 находим относительную дисперсию

Из соотношения (2) определяем

(3)

u = 0,931 υ.

Учитывая, что фазовая скорость υ = c/n, находим ее значение вблизи λ = 534 нм

По формуле (3) вычисляем групповую скорость

Ответ: υ= , u= .

8. В черенковском счетчике из каменной соли релятивистские протоны излучают в фиолетовом участке спектра в конусе с раствором 98°,80. Определить кинетическую энергию протонов. Длина волны фиолетовых лучей 0,4 мкм. Коэффициент преломления для этого участка спектра 1,54.

Дано: λ = 0,4 м, ? = 49,°40, n=1,54, =938,23 МэВ (см. табл. 18).

Найти:

Решение: Если частица движется в веществе со «сверхсветовой» скоростью V, то возникает свечение Вавилова—Черенкова при условии

V>υ = c/n, (1)

где с — скорость света в вакууме; n — показатель преломления вещества; υ — фазовая скорость света.

Свет, возникающий на каждом малом участке траектории заряженной частицы, распространяется вдоль образующих конуса, вершина которого О (рис. 15), расположена на этом участке, ось совпадает с траекторией частицы, а образующие составляют с осью угол

(2) или (3)

Так как излучают релятивистские протоны, то их кинетическая энергия равна

(4)

Величину V/c определим из соотношения (3)

Используя формулу (4), находим кинетическую энергию

Ответ: =14 ГэВ.

9. Во сколько раз увеличится мощность излучения абсолютно черного тела, если максимум энергии излучения передвинется от красной границы видимого спектра к его фиолетовой границе?

Дано: =0,76 мкм; =0,38 мкм.

Найти: n =

Решение: Длина волны, на которую приходится максимум энергии излучения абсолютно черного тела, определяется из первого закона смещения Вина: , (1) где Т — термодинамическая температура излучателя; — постоянная Вина. По формуле (1) определяем температуру, соответствующую красной и фиолетовой границам видимой области спектра:

Мощность излучения абсолютно черного тела N=ReS, где Re — энергетическая светимость абсолютно черного тела; S — площадь поверхности излучающего тела. В соответствии с законом Стефана—Больцмана

Re = (2)

где — постоянная Стефана—Больцмана. Для красной и фиолетовой границ видимой области спектра

Из формул (1) и (2) следует

Отношение / = n показывает, во сколько раз увеличивается мощность излучения абсолютно черного тела:

Ответ: Мощность излучения увеличится в 16 раз.

10. На зачерненную поверхность нормально падает монохроматический свет с длиной волны 0,65 мкм, производя давление 0,5 Па, Определить концентрацию фотонов вблизи поверхности и число фотонов, падающих на площадь 1 в 1 с.

Дано: λ = 0,65 м, р = 0,5 Па, ρ =0, S =1 , t =1 с.

Найти: , n.

Решение: Давление света при нормальном падении на поверхность с коэффициентом отражения ρ вычисляется по формуле

р = ω(1+ρ) (1) или р = (1+ρ), (2)

где ω — объемная плотность энергии; — энергетическая освещенность; с — скорость света в вакууме; ρ — коэффициент отражения поверхности, в данном случае ρ =0.

Объемная плотность энергии равна произведению концентрации фотонов (числа фотонов в единице объема) на энергию одного фотона ε=hν=hc/λ, т. е.

, (3)

откуда

. (4)

Определяя объемную плотность энергии из (1) и подставляя в (4), имеем

(5)

Число фотонов, падающих на площадь 1 за 1 с, численно равно отношению энергетической освещенности к энергии одного фотона:

(6)

Энергетическую освещенность определяем из (2) и, подставляя в (6), получаем

(7)

С учетом (5) выражение (7) примет вид n=n с. Подставляя числовые значения, получаем

Ответ: , n = .

11. Угол рассеяния фотона с энергией 1,2 МэВ на свободном электроне 60°. Найти длину волны рассеянного фотона, энергию и импульс электрона отдачи. Кинетической энергией электрона до соударения пренебречь.

Дано: ε =1,2 МэВ = 1,92 Дж, ? = 60°.

Найти: , , .

Решение: Изменение длины волны фотона при комптоновском рассеянии равно

(1)

где и — длины волн падающего и рассеянного фотонов; h =
= 6,62 Дж·с — постоянная Планка; =9,l1 кг — масса покоя электрона; с=3 м/с — скорость света вакууме; м — комптоновская длина волны; ? — угол рассеяния (рис. 16). На рисунке и — импульсы падающего и
рассеянного фотонов.