Методы вычисления максимального собственного числа и соответствующего собственного вектора

Степенной метод

Предположим, что действительные числа матрицы А с учетом их кратности расположены в следующем порядке:

| λ ₁ | ≤ | λ ₂ | ≤ … ≤ | λ_{n- 1} | < | λ_n |.

Для вычисления λ_n и соответствующего собственного вектора v ^{( n )} задаем начальное приближение у ⁽⁰⁾ к собственному вектору и величину ε > 0, по которой оканчивается следующий итерационный процесс

= , у ^{( k +1)} = A ,

μ ^{( k +1)} = (k = 0, 1, …),

где k – номер итерации, s – номер компоненты, m – количество ненулевых компонент вектора, у ^{( k +1)} – приближение к собственному вектору v ^{( n )}, μ ^{( k +1)} – приближение к собственному числу λ_n.

Условием окончания итерации является

| μ ^{( k +1)} – μ ^{( k )} | ≤ ε | μ ^{( k )} |.

Так как степенной метод не всегда сходится к максимальному собственному значению, то процесс следует начинать с разных линейно независимых начальных приближений. Если процесс не сходится, то максимальное (по модулю) собственное число комплексное или кратное.