Особенности реализации метода Гаусса

Описанная схема метода Гаусса проста и экономна по числу арифметических операций, однако для ее применения необходимо, чтобы все ведущие элементы (s = 1, 2, …, n) были отличны от нуля. Кроме того, близость ведущих элементов к нулю может привести к большой потере точности вычисленного решения. В связи с этим рассматриваются различные варианты методы Гаусса, например схема с выбором главных элементов по всей матрице. По этой схеме порядок исключения неизвестных в заданной системе происходит следующим образом. Из элементов преобразуемой матрицы на каждом s -ом шаге (s = 1, 2, …, n – 1) выбирается наибольший по модулю, называемый главным элементом s -го шага. Стоящее при нем неизвестное исключается по описанному выше правилу. Для удобства вычислений перед исключением этого неизвестного делают перестановку строк и столбцов матрицы так, чтобы главный элемент занял левый верхний угол. При этом при вычислении определителя следует иметь в виду, что перестановка строк (столбцов) меняет его знак. Если на s -м шаге наибольший элемент выбирается только из элементов s -го столбца (строки), то такая схема называется схемой с выбором главного элемента по столбцу (строке).

Обращение матриц

При решении систем линейных уравнений можно использовать метод Жордана, весьма близкий методу Гаусса. Отличие метода Жордана состоит лишь в том, что окончательная система

А ^{( n )} Х = B ^{( n )}

имеет не треугольную, а диагональную матрицу А ^{( n )} ≡ Е. При этом r -й шаг процесса (r = 1, 2, …, n) выполняется по следующему правилу. Делим r -ю строку матрицы А ^{( r – 1)} (А ⁽⁰⁾ ≡ A) на ведущий элемент , затем ее последовательно умножаем на (i = 1, 2, …, n; i ≠ r) и соответственно вычитаем из всех остальных строк матрицы А ^{( r – 1)}. В результате r -го шага все элементы r -го столбца преобразуемой матрицы, лежащие вне главной диагонали, превращаются в нули, а на главной диагонали получаем единицу. После выполнения r -го шага расширенная матрица системы (A | B)^{( r )} имеет вид:

(A | B)^{( r )} = .

Так как здесь А ^{( n )} ≡ Е, то обратный ход в данном алгоритме отсутствует и решением является результат преобразования вектора свободных членов b, т.е. вектор b ^{( n )}.

Рассмотрим n различных линейных систем

AX_i = E_i (i = 1, 2, …, n), (7)

где E_i – i -й единичный вектор, у которого i -я координата – единица, а остальные – нули.

Из i -й системы (i = 1, 2, …, n) имеем X_i = A^{– 1} E_i, т.е. решение X_i представляет собой i -й столбец матрицы A^{– 1}.

Решая каждую из систем (7) методом Жордана, очевидно, получим тот же результат. Преобразованная левая часть у всех систем – единичная матрица, правые части – столбцы обратной матрицы. Объединяя правые части систем (7) в одну матрицу – единичную матрицу n -го порядка – и применяя метод Жордана к полученной расширенной матрице (A | E), в результате преобразований придем к матрице (Е | A^{– 1}), т.е. к матрице, у которой на месте матрицы А будет единичная матрица Е, а на месте единичной матрицы – обратная матрица A^{– 1}.