Выбор формы уравнения регрессии

ЛЕКЦИЯ 6. Нелинейные модели

Различают следующие виды уравнений множественной регрессии: линейные, нелинейные, сводящиеся к линейным, и нелинейные, не сводящиеся к линейным (внутренне нелинейные). В первых двух случаях для оценки параметров модели применяются классического линейного регрессионного анализа. В случае внутренне нелинейных уравнений для оценки параметров приходится применять методы нелинейной оптимизации.

Основное требование, предъявляемое к уравнениям регрессии, заключается в наличии наглядной экономической интерпретации модели и ее параметров.

Исходя из этих соображений, наиболее часто используются линейная и степенная зависимости.

Линейная множественная регрессия имеет вид

(1)

Параметры b_i при факторах х_i называются коэффициентами «чистой» регрессии. Они показывают, на сколько единиц в среднем изменится результативный при- знак y за счет изменения соответствующего фактора на единицу при неизмененном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне.

Предположим, например, что зависимость спроса на товар (Q_d) от цены (P) и дохода (I) характеризуется следующим уравнением: Q_d = 2,5-0,12P+0,23I.

Коэффициенты данного уравнения говорят о том, что при увеличении цены на единицу, спрос уменьшится в среднем на 0,12 единиц измерения спроса, а при увеличении дохода на единицу, спрос возрастет в среднем 0,23 единицы. Параметр а в (1) не всегда может быть содержательно проинтерпретирован.

Степенная множественная регрессия имеет вид

(2)

Параметры b_j (степени факторов х_i) являются коэффициентами эластичности. Они показывают, на сколько процентов в среднем изменится результативный признак y за счет изменения соответствующего фактора х_i на 1 % при неизмененном значении остальных факторов.

Наиболее широкое применение этот вид уравнения регрессии получил в производственных функциях, а также при исследовании спроса и потребления. Например, зависимость выпуска продукции Y от затрат капитала K и труда L

Y = 0,89K^0,23·L^0,81 говорит о том, что увеличение затрат капитала K на 1 % при неизменных затратах труда вызывает увеличение выпуска продукции Y на 0,23 %. Увеличение затрат труда L на 1 % при неизменных затратах капитала K вызывает увеличение выпуска продукции Y на 0,81 %.

Экономический смысл имеет также сумма коэффициентов b_i каждого фактора (сумма эластичностей) b = S b_i. Эта величина дает обобщенную характеристику эластичности производства.

Если значение b > 1, то говорят, что функция имеет возрастающий эффект от масштаба производства. Значение b = 1 говорит о постоянном масштабе производства. Если значение b < 1, то имеет место убывающий эффект от масштаба производства.

Примеры других зависимостей, используемых при построении регрессии, приведены в лекции 1.

Если один и тот же фактор вводится в регрессию в разных степенях, то каждая степень рассматривается как самостоятельный фактор. Например, если в нелинейной модели с двумя факторами x₁, x₂

величины x₁², x×x₂² рассматривать как новые дополнительные факторы, то, используя замену переменных z₁ = x₁, z₂ = x₂, z₃ = x₁², z₄ = x₁· x₂², ее можно привести к линейному уравнению регрессии с четырьмя факторами:

.