Практическая работа № 1. «Построение математической модели задачи линейного программирования»

Цель работы:

Исследование экономических процессов обычно начинается с их моделирования, т.е. определения математических соотношений, которым эти процессы подчиняются. При этом необходимо:

- определить переменные данной задачи, т.е. величины, которые полностью характеризуют данный экономический процесс (все они по смыслу – неотрицательные величины);

- установить, каким ограничениям удовлетворяют переменные (в соответствии с условиями задачи);

- построить целевую функцию (функцию выбранных переменных, экстремум которой – максимум или минимум – необходимо найти).

Пример 1.1. На фабрике производится продукция двух типов. Для производства единицы продукции первого типа требуются 2 часа работы станка A, 1 час работы станка B и 1 час на завершающие операции. Для производства единицы продукции второго типа требуются 1 час работы станка A, 1 час работы станка B и 3 часа на завершающие операции. В течение недели станок A может работать не более 70 часов, станок B не более 40 часов, и на завершающие операции выделяется не более 90 часов. Доход от продажи единицы продукции первого типа составляет 4 у.е., от продажи единицы продукции второго типа 6 у.е. Сколько продукции первого и второго типа следует производить за неделю, чтобы доход был максимальным?

Решение. Очевидно, что в качестве переменных x₁ и x₂ следует взять количество (в единицах) продукции первого и второго (соответственно) типа. При этом x₁≥0, x₂≥0, а целевая функция (доход, который должен быть максимальным) имеет вид и . Теперь обратим внимание на условия, диктующие ограничения на переменные. Для производства обоих видов продукции станок A должен работать 2x₁+1x₂ часов, станок В 1x₁+1x₂ часов и на завершающие операции требуется 1x₁+3x₂ часов. Учитываем указанные в задаче возможности работы станков и окончательно получаем:

Пример 1.2. Имеется два вида корма P₁ и P2, содержащие питательные вещества S₁, S₂ и S₃. Содержание числа единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и необходимый минимум питательных веществ приведены в таблице 1.1.

Таблица 1.1

Стоимость 1 кг корма P₁ и P₂ соответственно равна 4 и 6 у.е. Необходимо составить дневной рацион, в котором содержание каждого вида питательных веществ было бы не менее установленного предела.

Решение. Составим экономико-математическую модель задачи. Обозначим через x₁ и x₂ – количество кормов P₁ и P₂ , входящих в дневной рацион. Тогда этот рацион (см. Таблицу 1.1) будет включать (3 x₁+1· x₂₎ единиц питательного вещества S₁, (1· x₁+2x₂₎ единиц питательного вещества S₂ и (1· x₁+6x₂₎ единиц питательного вещества S₃. Так как содержание питательных веществ S₁, S₂ и S₃ в рационе должно быть не менее соответственно 9, 8 и 12 единиц, то получим систему неравенств:

(1)

Кроме того, переменные

x₁≥0, x₂≥0 (2)

Общая стоимость рациона составит (в у.е.)

F=4 x₁+6 x₂. (3)

Итак, экономико-математическая модель задачи: составить дневной рацион X=(x₁, x₂), удовлетворяющий системе (1) и условию (2), при котором функция (3) принимает минимальное значение.