Пример решения Задачи 2

В железнодорожных скальных выемках кюветов от попадания в них с откосов каменных осыпей устанавливается «полка» DC. Учитывая возможность движения камня из наивысшей точки А откоса и полагая при этом его начальную скорость = 0, определить наименьшую ширину полки b и скорость , с которой камень падает на нее. По участку АВ откоса, составляющему угол α с горизонтом и имеющему длину , камень движется с. При решении задачи считать коэффициент трения скольжения камня на участке AB постоянным, а сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано: = 60°; = 0 м/с, ≠ 0, = 4м, = 1 с, =75°. Определить и b.

Решение: рассмотрим движение камня на участке АВ. Принимая камень за материальную точку, покажем действующие на него силы: вес , нормальную реакцию и силу трения скольжения . С оставим дифференциальное уравнение движения камня на участке АВ:

Сила трения

где

Таким образом

или

интегрируя дифференциальное уравнение дважды получаем:

Для определения постоянных интегрирования воспользуемся начальными условиями задачи: при t = 0, x ₀₁=0 и *

Составим уравнения, полученные при интегрировании, для t=0:

Найдем постоянные С₁= 0, С₂= 0

тогда

Для момента , когда камень покидает участок,

т.е

откуда

т.е.

Рассмотрим движение камня от точки В до точки С.

Показав силу тяжести , действующую на камень, составим дифференциальные уравнения его движения:

Начальные условия задачи; при t = 0

x₀=0, y₀ = 0

Интегрируем дифференциальные уравнения

x = C ₃ t + C ₅, y = gt ²/2 + C ₄ t + C ₅.

Напишем полученные уравнения для t = 0

x = C ₅; y = C ₆.

Отсюда найдем, что

Получим следующие уравнения проекций скоростей камня:

И уравнения его движения:

Уравнение траектории камня найдем, исключив параметр t из уравнений движения. Определив t из первого уравнения и подставив его значение во второе, получаем уравнение параболы:

В момент падения y = h, x = d.

Определяя d из уравнения траектории, найдем

d ₁ = 2,11 м, d ₂ = –7,75 м.

Так как траекторией движения камня является ветвь параболы с положительными абсциссами ее точек, то d = 2,11 м.

Минимальная ширина полки

b = d – ED = d – h/tg75°, или b = 0,77 м.

Используя уравнение движения камня найдем время Т движения камня от точки В до точки С: Т = 0,53 с.