Пример решения Задачи 3

Дано: m ₁ = 200 кг; m ₂ = 80 кг; M_z = 592 t Н×м; w₀= – 2 рад/с; АО = 0,8 м;

R = 2,4 м; а = 1,2 м; t = t = 4 c; ОК = s = 0,5 t₁² м; t ₁ = Т = 2 с.

Определить w_t и w_Т, считая тело Н однородной круглой пластинкой. Решение. К решению задачи применим теорему об изменении кинетического момента механической системы, выраженную уравнением

где L_z кинетический момент системы, состоящей вданном случае из тела Н, и точки К, относительно оси z; – главный момент внешних сил, приложенных к системе, относительно оси z.

На систему за время от t = 0 до t = t действуют силы: вес G₁ тела H, вес G₂ точки К, пара сил с моментом М_z и реакции подпятника и подшипника (рис. а).

Предположим, что вращение тела Н происходит против вращения часовой стрелки, если смотреть со стороны положительного направления оси z; будем считать это направление положительным при определении знаков кинетических моментов.

Найдем выражение кинетического момента L_z системы, который складывается из кинетического момента тела J_z wи момента количества движения точки К, находящейся в точке О тела Н и имеющей скорость v = w× O₁O:

m₂v × O₁O = m₂ w× O₁O².

Таким образом,

L _z = J_z w+ m₂ w× O₁O²= (J_z+ m₂ × O₁O²) w

Главный момент внешних сил равен вращающему моменту М_z, так как другие силы момента относительно оси z не создают.

Уравнение, выражающее теорему об изменении кинетического момента, примет вид

(1)

где М_z = ct (с = 592 Н×м/с).

Разделим в уравнении (1) переменные и проинтегрируем левую и правую части уравнения:

Тогда

(J_z + m ₂ × O ₁ O ²)(w_t– w₀) = ct²/2. (2)

Найдем числовые значения входящих в уравнение (2) величин.

Момент инерции тела Н относительно оси z найдем, используя теорему о зависимости между моментами инерции относительно параллельных осей:

J_z = J_z_С+m ₁ a ²,

где J_zC - момент инерции тела H однородной круглой пластинки относительно вертикальной оси, проходящей через центр масс тела параллельно оси z:

J_zC=m ₁ R ² / 2.

Тогда

J_z=m ₁ R ² / 2 + m ₁ a ²,

т. е.

J_z = 864 кг × м².

Из чертежа (рис. 4, б) находим

(O ₁ O)= (ОС)² + (О ₁ С)², или (О ₁ О)² = 4 м²,

поэтому

J_z + m ₂ × O ₁ O ² = 864+ 80×4= 1184 кг×м².

Таким образом, из уравнения (2)

1184 [w_t – (– 2)] = 592 × 4²/2

имеем

w_t = 2 рад/с.

После прекращения действия момента М_z тело H вращается по инерции с угловой скоростью w_t; при этом к системе приложены силы G ₁, G ₂, реакции подпятника и подшипника (рис. б).

Те же внешние силы действуют на систему и в течение промежутка времени от t ₁= 0 до t ₁= Т при движении самоходной тележки.

Уравнение, выражающее теорему об изменении кинетического момента системы, имеет для этого периода времени вид

d L_z/ d t = 0,

т. е.

L_z = const.

Определим значения кинетических моментов L_z ₀при t ₁ = 0 и L_z _tпри t ₁=T и приравняем эти значения.

L_z ₀= (J_z + m ₂ × O ₁ O ²)w_t = 2368 кг × м²/с.

При t ₁ > 0 скорость точки К складывается из относительной скорости v_r отношению к телу H и переносной скорости v_e в движении вместе с телом Н. Поэтому для t ₁=T покажем два вектора количества движения точки: и .