Дифференциальные уравнения второго порядка

Интегрируемые случаи дифференциального уравнения второго порядка:

· если

у" =f(x),

· то общее решение

у = +

· если

у" =f(y),

· то общий интеграл

· если

y"=f(y')

· то общий интеграл уравнения может быть найден из соотношения

Где y '=p

• Случаи понижения порядка для дифференциаль­ного уравнения второго порядка:

если

у " = f(x, y'),

то, полагая у ' = р(х), получаем

;

Если

у " = f(,yy'),

то, полагая у ' = р(у), будем иметь

p =f(y,p).

Общее решение линейного однородного дифферен­циального уравнения второго порядка у" +p(x)y'+q(х)у = 0

у = С₁у₁ + С₂у₂,

где у₁иу₂ — линейно независимые частные решения.

· Общее решение линейного неоднородного дифферен­циального уравнения второго порядка у " + р(х)у' + + q(х)y = (x)

y=у(x) +z,

где у(x) — общее решение соответствующего однородно­го уравнения, z — частное решение данного неодно­родного уравнения.